解の構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/09 22:23 UTC 版)
今、 r 0 = ( α ∞ − α 0 ) ( α 1 − α 4 ) ( α 2 − α 3 ) κ 4 ( τ ) r 1 = ( α ∞ − α 1 ) ( α 2 − α 0 ) ( α 3 − α 4 ) κ 4 ( τ ) r 2 = ( α ∞ − α 2 ) ( α 1 − α 3 ) ( α 0 − α 4 ) κ 4 ( τ ) r 3 = ( α ∞ − α 3 ) ( α 2 − α 4 ) ( α 1 − α 0 ) κ 4 ( τ ) r 4 = ( α ∞ − α 4 ) ( α 0 − α 3 ) ( α 1 − α 2 ) κ 4 ( τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}r_{0}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{0})(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{1}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{1})(\alpha _{2}-\alpha _{0})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{2}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{2})(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{0}-\alpha _{4}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{3}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4})(\alpha _{1}-\alpha _{0}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{4}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{4})(\alpha _{0}-\alpha _{3})(\alpha _{1}-\alpha _{2}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\end{aligned}}} と定義すると、 r i {\displaystyle r_{i}} は K ( 5 ) {\displaystyle \;K({\sqrt {5\,}})\;} 上の方程式 x 5 − 2 4 ⋅ 5 3 κ 2 ( 1 − κ 2 ) 2 x − 2 6 ⋅ 5 5 2 κ 2 ( 1 − κ 2 ) 2 ( 1 + κ 2 ) = 0 {\displaystyle x^{5}-2^{4}\cdot 5^{3}\kappa ^{2}(1-\kappa ^{2})^{2}x-2^{6}\cdot 5^{\frac {5}{2}}\kappa ^{2}(1-\kappa ^{2})^{2}(1+\kappa ^{2})=0} の解であることが証明できる。この式とブリング-ジェラードの標準形とを結合することで五次方程式の解が構成できる。具体的には、 b = − i 2 ( 1 + κ 2 ) 5 5 4 κ ( 1 − κ 2 ) {\displaystyle b=-{\rm {i}}{\frac {2(1+\kappa ^{2})}{5^{\frac {5}{4}}{\sqrt {\kappa (1-\kappa ^{2})}}}}} の変換で互いに移り変わる。これより、複素数 κ ( τ ) {\displaystyle \kappa (\tau )} は、四次方程式を解くことで決定できる。 r i {\displaystyle r_{i}} を決定するには、この他に τ {\displaystyle \tau } そのものの値も必要であるので、残されている手続はパラメータ τ {\displaystyle \tau } の決定である。そして、この部分が超越的操作を含んでいる。 κ ( τ ) {\displaystyle \kappa (\tau )} と τ {\displaystyle \tau } とは、楕円曲線 C y 2 = ( 1 − x 2 ) ( 1 − κ 2 x 2 ) {\displaystyle y^{2}=(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})} 上の第1種積分 ξ = d x y = d x ( 1 − x 2 ) ( 1 − κ 2 x 2 ) {\displaystyle \xi ={\frac {dx}{y}}={\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})}}}} の周期の比、すなわち第一種完全楕円積分 K = K ( κ ) = ∫ 0 1 d x ( 1 − x 2 ) ( 1 − κ 2 x 2 ) , K ′ = K ′ ( κ ) = K ( κ ′ ) = ∫ 0 1 d x ( 1 − x 2 ) ( 1 − κ ′ 2 x 2 ) , κ ′ = 1 − κ 2 {\displaystyle K=K(\kappa )=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})}}},\quad K'=K'(\kappa )=K(\kappa ')=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-{\kappa '}^{2}x^{2})}}},\quad \kappa '={\sqrt {1-\kappa ^{2}}}} を用いて、 τ = i K ′ K {\displaystyle \tau ={\frac {{\rm {i}}K'}{K}}} の関係で結ばれている。これが κ ( τ ) {\displaystyle \kappa (\tau )} から τ {\displaystyle \tau } を決定する式である。この式は代数的には解けないが、この方程式を満足する τ {\displaystyle \tau } を r i {\displaystyle r_{i}} に代入して五次方程式の解が得られる。
※この「解の構成」の解説は、「五次方程式」の解説の一部です。
「解の構成」を含む「五次方程式」の記事については、「五次方程式」の概要を参照ください。
解の構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:36 UTC 版)
ポアソン方程式は対数ポテンシャルやニュートン・ポテンシャルを用いることで、有界領域の内部における解の例（特殊解）u0を構成することができる。こうした特殊解は物理や工学での応用上、重要である。さらに、いくつかの条件の下では、全領域（無限境界）における解となる。また、こうした特殊解を用いることで、ポアソン方程式の境界値問題をより単純なラプラス方程式の境界値問題に帰着させることができる。 2次元の場合 2次元空間R2の有界領域Ωでf (ξ,η )が1階連続微分可能とすると、 u 0 ( x , y ) = − 1 2 π ∬ Ω f ( ξ , η ) log 1 ( ξ − x ) 2 + ( η − y ) 2 d ξ d η = − 1 2 π ∬ Ω f ( ξ , η ) log 1 r d ξ d η ( r = ( ξ − x ) 2 + ( η − y ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}u_{0}(x,y)&=-{\frac {1}{2\pi }}\iint _{\Omega }f(\xi ,\eta )\log {\frac {1}{\sqrt {(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}}}}d\xi d\eta \\&=-{\frac {1}{2\pi }}\iint _{\Omega }f(\xi ,\eta )\log {\frac {1}{r}}\,d\xi d\eta \quad (r={\sqrt {(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}}})\end{aligned}}} で与えたu0(x, y )は、Ω の内部で2階連続微分可能であり Δ u 0 ( x , y ) = f ( x , y ) {\displaystyle \Delta u_{0}(x,y)=f(x,y)\,} を満たす。ここで積分内の項log(1/r )を対数ポテンシャルと呼ぶ。上記の関係式は、ディラックのデルタ関数による形式的な関係式 Δ ( x , y ) ( log 1 r ) = − 2 π ⋅ δ ( x − ξ , y − η ) {\displaystyle \Delta _{(x,y)}{\biggl (}\log {\frac {1}{r}}{\biggr )}=-2\pi \cdot \delta (x-\xi ,y-\eta )} から理解することができる。 3次元の場合 3次元空間R3の有界領域Ωでf (ξ, η, ζ )が1階連続微分可能とすると、 u 0 ( x , y , z ) = − 1 4 π ∭ Ω f ( ξ , η , ζ ) ( ξ − x ) 2 + ( η − y ) 2 + ( ζ − z ) 2 d ξ d η d ζ = − 1 4 π ∭ Ω f ( ξ , η , ζ ) 1 r d ξ d η d ζ ( r = ( ξ − x ) 2 + ( η − y ) 2 + ( ζ − z ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}u_{0}(x,y,z)&=-{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{\Omega }{\frac {f(\xi ,\eta ,\zeta )}{\sqrt {(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}+(\zeta -z)^{2}}}}d\xi d\eta d\zeta \\&=-{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{\Omega }f(\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {1}{r}}\,d\xi d\eta d\zeta \quad (r={\sqrt {(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}+(\zeta -z)^{2}}})\end{aligned}}} で与えたu0(x, y, z)は、Ω の内部で2階連続微分可能であり Δ u 0 ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) {\displaystyle \Delta u_{0}(x,y,z)=f(x,y,z)\,} を満たす。ここで積分の中に現れる項1/r をニュートン・ポテンシャルと呼ぶ。上記の関係式は、2次元の場合と同様にディラックのデルタ関数による形式的な関係式 Δ ( x , y , z ) ( 1 r ) = − 4 π ⋅ δ ( x − ξ , y − η , z − ζ ) {\displaystyle \Delta _{(x,y,z)}{\biggl (}{\frac {1}{r}}{\biggr )}=-4\pi \cdot \delta (x-\xi ,y-\eta ,z-\zeta )} から理解することができる。 n次元の場合 より一般的には、n次元空間Rn(n ≧3)の有界領域Ωでf (ξ1,…,ξn)が1階連続微分可能とすると、 u 0 ( x 1 , ⋯ , x n ) = − Γ ( n 2 ) 2 ( n − 2 ) π n 2 ∫ ⋯ ∫ Ω f ( ξ 1 , ⋯ , ξ n ) r 2 − n d ξ 1 ⋯ d ξ n ( r = ( ξ 1 − x 1 ) 2 + ⋯ + ( ξ n − x n ) 2 ) {\displaystyle u_{0}(x_{1},\cdots ,x_{n})=-{\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{2(n-2)\pi ^{\frac {n}{2}}}}\int \cdots \int _{\Omega }f(\xi _{1},\cdots ,\xi _{n})r^{2-n}\,d\xi _{1}\cdots d\xi _{n}\quad (r={\sqrt {(\xi _{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(\xi _{n}-x_{n})^{2}}})} で与えたu0(ξ1,…,ξn)は、Ωの内部で2階連続微分可能で Δ u 0 ( x 1 , ⋯ , x n ) = f ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle \Delta u_{0}(x_{1},\cdots ,x_{n})=f(x_{1},\cdots ,x_{n})\,} を満たす。
※この「解の構成」の解説は、「ポアソン方程式」の解説の一部です。
「解の構成」を含む「ポアソン方程式」の記事については、「ポアソン方程式」の概要を参照ください。
- 解の構成のページへのリンク
