KdV方程式の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/01 10:26 UTC 版)
可積分系の代表的な例であるKdV方程式で、広田の方法を説明する。KdV方程式 u t + 6 u u x + u x x x = 0 {\displaystyle u_{t}+6uu_{x}+u_{xxx}=0\,} において、 u = 2 ∂ 2 ∂ x 2 log f {\displaystyle u=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log {f}\,} なる変数変換をすると、 D x ( D t + D x 3 ) f ⋅ f = 0 {\displaystyle D_{x}(D_{t}+D_{x}^{\,3})f\cdot f=0} なる双線形形式の方程式に帰着される。ここで f を f = 1 + ϵ f 1 + ϵ 2 f 2 + ⋯ {\displaystyle f=1+\epsilon f_{1}+\epsilon ^{2}f_{2}+\cdots \,} と ε によるべき級数で展開する。これを双線形形式の方程式に代入し、各べき εn のオーダー毎にまとめると、 ϵ : D x ( D t + D x 3 ) ( f 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ f 1 ) = 0 {\displaystyle \epsilon :\,\,D_{x}(D_{t}+D_{x}^{\,3})(f_{1}\cdot 1+1\cdot f_{1})=0} ϵ 2 : D x ( D t + D x 3 ) ( f 2 ⋅ 1 + f 1 ⋅ f 1 + 1 ⋅ f 2 ) = 0 {\displaystyle \epsilon ^{2}:\,\,D_{x}(D_{t}+D_{x}^{\,3})(f_{2}\cdot 1+f_{1}\cdot f_{1}+1\cdot f_{2})=0} ϵ 3 : D x ( D t + D x 3 ) ( f 3 ⋅ 1 + f 2 ⋅ f 1 + f 1 ⋅ f 2 + 1 ⋅ f 3 ) = 0 {\displaystyle \epsilon ^{3}:\,\,D_{x}(D_{t}+D_{x}^{\,3})(f_{3}\cdot 1+f_{2}\cdot f_{1}+f_{1}\cdot f_{2}+1\cdot f_{3})=0} ⋮ {\displaystyle \vdots } となる。 1ソリトン解 1ソリトン解を構成するには次のような解の構成を行う。まず、 f 1 = e 2 ( κ x − ω t ) {\displaystyle f_{1}=e^{2(\kappa x-\omega t)}\,} として、ε1 の項を考えると ω = 4 κ 3 {\displaystyle \omega =4\kappa ^{3}\,} の関係が満される必要があることがわかる。また、高次の εn の項については、特解として、 f n = 0 n ≥ 2 {\displaystyle f_{n}=0\quad n\geq 2} をとることができる。よって、解 u としては u = 2 ∂ 2 ∂ x 2 log ( 1 + e 2 ( κ x − 4 κ 3 t ) ) {\displaystyle u=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log {(1+e^{2(\kappa x-4\kappa ^{3}t)})}} となる。
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