双線形形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/01 10:26 UTC 版)
二つの関数の組に、広田微分を作用させた場合、各項は二つの関数の導関数について、どちらも一次式の形になっており、これを双線形形式 (bilinear form) と呼ぶ。可積分系の非線形偏微分方程式は、適当な従属変数の変換の下、双線形形式の広田微分の方程式に変形できる。シンプルな形に表現された双線形形式の方程式に、広田微分の性質を組み合わせることで、見通しのよい計算で解を構成することが可能となる。 方程式変数変換双線形形式KdV方程式: u t + 6 u u x + u x x x = 0 {\displaystyle u_{t}+6uu_{x}+u_{xxx}=0\,} u = 2 ∂ 2 ∂ x 2 log f {\displaystyle u=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log {f}} D x ( D t + D x 3 ) f ⋅ f = 0 {\displaystyle D_{x}(D_{t}+D_{x}^{\,3})f\cdot f=0} mKdV方程式: u t + 6 u 2 u x + u x x x = 0 {\displaystyle u_{t}+6u^{2}u_{x}+u_{xxx}=0\,} u = g f {\displaystyle u={\frac {g}{f}}} ( D t + D x 3 ) g ⋅ f = 0 , D x 2 f ⋅ f = 2 g 2 {\displaystyle (D_{t}+D_{x}^{\,3})g\cdot f=0,\,D_{x}^{\,2}f\cdot f=2g^{2}} 非線形Schrödinger方程式: i u t + u x x + 2 | u | 2 u = 0 {\displaystyle iu_{t}+u_{xx}+2|u|^{2}u=0\,} u = g f {\displaystyle u={\frac {g}{f}}} （ f {\displaystyle f\,} は実数値関数、 g {\displaystyle g\,} は複素数値関数) ( i D t + D x 2 ) g ⋅ f = 0 , D x 2 f ⋅ f = 2 g g ∗ {\displaystyle (iD_{t}+D_{x}^{\,2})g\cdot f=0,\,D_{x}^{\,2}f\cdot f=2gg^{\ast }} サイン・ゴルドン方程式: u t x = sin u {\displaystyle u_{tx}=\sin {u}\,} u = 2 i log f ∗ f {\displaystyle u=2i\log {\frac {f^{\ast }}{f}}} （ f {\displaystyle f\,} は複素数値関数) D x D t f ⋅ f = − 1 2 ( f ∗ 2 − f 2 ) {\displaystyle D_{x}D_{t}f\cdot f=-{\frac {1}{2}}(f^{\ast \,2}-f^{2})} 戸田格子: d 2 d t 2 r n = 2 e − r n − e − r n − 1 − e − r n + 1 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}r_{n}=2e^{-r_{n}}-e^{-r_{n-1}}-e^{-r_{n+1}}\,} V n = e − r n − 1 , V n = d 2 d t 2 log τ n {\displaystyle V_{n}=e^{-r_{n}}-1,\,V_{n}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\log {\tau _{n}}} 1 2 D t 2 τ n ⋅ τ n = τ n + 1 τ n − 1 − τ n 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}D_{t}^{\,2}\tau _{n}\cdot \tau _{n}=\tau _{n+1}\tau _{n-1}-\tau _{n}^{\,2}} KP方程式: ∂ ∂ x ( u t + 6 u u x + u x x x ) + u y y = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\bigl (}u_{t}+6uu_{x}+u_{xxx}{\bigr )}+u_{yy}=0} u = 2 ∂ 2 ∂ x 2 log f {\displaystyle u=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log {f}} ( D x D t + D y 2 + D x 4 ) f ⋅ f = 0 {\displaystyle (D_{x}D_{t}+D_{y}^{\,2}+D_{x}^{\,4})f\cdot f=0}
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