可積分系
可積分系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/03 06:28 UTC 版)
n {\displaystyle n} 自由度の自励正準力学系がLiouvilleの意味で可積分であるとは、 n {\displaystyle n} 個の関数的に独立な孤立積分 F i {\displaystyle F_{i}} ( i = 1 , 2 , ⋯ , n {\displaystyle i=1,2,\cdots ,n} ) が存在し、互いにPoisson可換であること、すなわち [ F i , F j ] = 0 {\displaystyle \left[F_{i},F_{j}\right]=0} を満足することである。このとき、リウヴィル＝アーノルドの定理は、各積分 F i {\displaystyle F_{i}} が値 f i {\displaystyle f_{i}} を取る超曲面 ⋂ i = 1 n F i − 1 ( f i ) {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}F_{i}^{-1}(f_{i})} が連結かつコンパクトであるならば、この曲面はトーラス T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} と同相であること（Arnoldトーラスと呼ばれる）、そしてArnoldトーラスを含む近傍で定義された正準変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} が存在しハミルトニアン H {\displaystyle H} が J {\displaystyle \mathbf {J} } だけの関数になることを主張する。この定理により保証される正準変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} が作用・角変数である。
※この「可積分系」の解説は、「作用・角変数」の解説の一部です。
「可積分系」を含む「作用・角変数」の記事については、「作用・角変数」の概要を参照ください。
- 可積分系のページへのリンク
