数理物理

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数理物理学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/11 15:01 UTC 版)

数理物理学（すうりぶつりがく、英語: mathematical physics）は、数学と物理学の境界を成す科学の一分野である。数理物理学が何から構成されるかについては、いろいろな考え方がある。典型的な定義は、Journal of Mathematical Physicsで与えているように、「物理学における問題への数学の応用と、そのような応用と物理学の定式化に適した数学的手法の構築」である。

数理物理には、関数解析学／量子力学、幾何学／一般相対性理論、組み合わせ論／確率論／統計力学、可積分系などが含まれる。最近では弦理論が、代数幾何学、トポロジー、複素幾何学などの数学の重要分野と交流を持つようになってきている。

研究領域

数理物理学にはいくつか独立した領域があり、特定の時代とおおよそ対応する。偏微分方程式論（及び変分法、フーリエ解析、ポテンシャル理論、ベクトル解析など）は、数理物理学に最も関連の深い領域であるといえる。これらは（ジャン・ル・ロン・ダランベール、レオンハルト・オイラー、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュなどによって）18世紀後半から1930年代までに集中して構築された。これらの物理的応用には、流体力学、天体力学、弾性理論、振動理論、熱力学、電磁気学、空気力学などが含まれる。

原子スペクトルの理論、（及び後の量子力学）は、線型代数学、作用素のスペクトル理論、さらには関数解析学などの数学的分野とほとんど同時に発展した。これらは数理物理学の別な領域を構成している。

特殊相対性理論、一般相対性理論は、若干異なった種類の数学を必要とする。群論は場の量子論や微分幾何学において重要な役割を果たしたが、しだいに宇宙論や場の量子論の数学的表現としてのトポロジーによって置き換えられた。

統計力学は、より数学的なエルゴード理論や確率論の一部と深く関連している。

用語としての'数理物理学'の使い方は、人によって異なることがある。物理学の発展から生まれた数学は、他の関連領域と異なり、数理物理学の一部とはみなされないこともある。例えば、力学系や解析力学は数理物理学に属するのに対して、常微分方程式やシンプレクティック幾何学は純粋に数学的な領域と考えられている。

著名な数理物理学者

• 初期

  初期の数理物理学の先駆者として、11世紀のイラクの物理学者・数学者イブン・アル・ハイサム（ラテン語名Alhacen、965年-1039年）を挙げることができる。彼の数学的モデルと、それらが彼の著書「光学の書」（1021年）において感覚・知覚の理論に果たした役割は、後の数理物理学の基礎となる重要なものである。他にもこの時代には、アル＝ビールーニーやアル＝カジニなどが、代数学や精密な計算手法を統計学や力学に導入した。

• 17世紀

  イギリスの物理学者・数学者アイザック・ニュートン（1642年-1727年）が、物理学上の問題を解くための重要な数学的手法（微分法や、ニュートン法などの数値解析手法）を開発した。また、（光の波動論で知られる）オランダのクリスティアーン・ホイヘンス、天体運動に関する方程式の発見で知られるドイツのヨハネス・ケプラー（1571年-1630年）などが活躍した。

• 18世紀

  スイスの（流体力学や弦の振動などについて業績を残した）ダニエル・ベルヌーイ（1700年-1782年）や（変分原理、力学、流体力学や、その他多くの業績を残した）レオンハルト・オイラー（1707年-1783年）が数理物理学を大きく発展させた。また、フランスのジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ（1736年-1813年）は、力学と変分法に関して顕著な業績を残した。

• 18世紀後半から19世紀初頭

  フランスでは（数理天文学、ポテンシャル理論、力学で有名な）ピエール＝シモン・ラプラス（1749年-1827年）や、力学、ポテンシャル理論の発展に貢献したシメオン・ドニ・ポアソン（1781年-1840年）が、またドイツでは（磁性の研究を行った）カール・フリードリヒ・ガウス（1777年-1840年）や（力学や調和変換に関する業績を残した）カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ（1804年-1851年）などが活躍した。ガウスは、オイラーとともに三大数学者の一人とされている。彼の非ユークリッド幾何学への貢献は、彼に続くベルンハルト・リーマン（1826年-1866年）によるリーマン幾何学の基礎となった。これは後述する一般相対性理論の核心をなすものである。

• 19世紀

  ジェームズ・クラーク・マクスウェル（1831年-1879年）がマクスウェル方程式を確立し、同じくイギリスのケルヴィン男爵ウィリアム・トムソン（1824年-1907年）は、熱力学に関して本質的な発見を行った。イギリスでは他にもレイリー男爵ジョン・ウィリアム・ストラット（1842年-1919年）が音波についての研究を行い、ジョージ・ガブリエル・ストークス（1819年-1903年）が光学、流体力学の研究を発展させた。アイルランドでは、ウィリアム・ローワン・ハミルトン(1805年-1865年）が力学の研究を行った。ドイツでは、ヘルマン・フォン・ヘルムホルツ（1821年-1894年）が電磁気学、波動、流体、音波の研究で業績を残した。アメリカでは、ウィラード・ギブズ（1821年-1903年）による先駆的研究が、統計力学の基礎となった。これらはいずれも、電磁気学、流体力学、統計力学の基礎を成している。

• 19世紀末から20世紀初頭

  特殊相対性理論

  オランダのヘンドリック・ローレンツ（1853年-1928年）、アンリ・ポアンカレ（1854年-1912年）らによって特殊相対論の先鞭が付けられた後、アルバート・アインシュタイン（1879年-1955年）によって完全に明瞭な形で定式化された。アインシュタインはこれを推し進め、一般相対性理論を構成する、幾何学的なアプローチを用いた重力理論に到達した。これは19世紀のガウスとリーマンによる非ユークリッド幾何学に基づくものである。アインシュタインの特殊相対性理論は、時間と空間のガリレイ変換を、ミンコフスキー空間での4次元のローレンツ変換に置き換えた。また一般相対性理論は、平面上のユークリッド幾何学を、曲率が質量分布によって決まるリーマン多様体上の幾何学に置き換えた。これはニュートンのスカラー重力をリーマン曲率テンソルに置き換えたものである。

  量子力学

  20世紀におけるもう1つの革命的成果として、量子力学を挙げることができる。量子力学は、マックス・プランク（1856年-1947年）による黒体輻射の研究、及びアインシュタインによる光電効果の研究から生まれた。これは当初、アルノルト・ゾンマーフェルト（1868年-1951年）とニールス・ボーア（1885年-1962年）の発見的方法によって定式化されたが、間もなくマックス・ボルン（1882年-1970年）、ヴェルナー・ハイゼンベルク（1901年-1976年）、ポール・ディラック（1902年-1984年）、エルヴィン・シュレーディンガー（1887年-1961年）、及びヴォルフガング・パウリ（1900年-1958年）らによって発展した量子力学によって置き換えられた。量子力学は、状態の確率的な解釈と、ダフィット・ヒルベルト（1862年-1943年）によって導入された無限次元ベクトル空間（ヒルベルト空間）上での自己共役作用素に関する理論に基づいている。例えばディラックは、電子の相対論的なモデルを代数的な構造を用いて構築し、これによって生じる磁気モーメントや、その反粒子であるポジトロンの存在を予言した。

• 20世紀

  その後の20世紀の数理物理学の発展は、サティエンドラ・ボース（1894年-1974年）、ジュリアン・シュウィンガー（1918年-1994年）、朝永振一郎（1906年-1979年）、リチャード・ファインマン（1923年-1988年）、湯川秀樹（1907年-1981年）、ロジャー・ペンローズ（1931年-）、スティーヴン・ホーキング（1942年-2018年）、エドワード・ウィッテン（1951年-）らによるところが大きい。

数学的に厳密な物理学としての数理物理学

'数理' 物理学の用語は、物理学上の問題を数学的に厳密な枠組みによって研究し、解決する仕事を指して用いられることもある。この意味での数理物理学には、純粋数学と物理学に共通する広範な領域が含まれる。理論物理学にも関連するものの、この意味での数理物理学は、数学において見られる厳密さと同等に厳密であることを重視する。一方理論物理学は、観測や、理論物理学者（や、より一般的な意味での数理物理学者）による発見、直観、近似的な議論の助けを必要とする実験物理学とのつながりを重視する。議論の余地はあるが、厳密な数理物理学はより数学に近く、理論物理学はより物理学に近いといえる。

このような数理物理学は、物理学の理論を拡張し、解明することを目的とする。厳密さが要求されることから、これらの研究者は、理論物理学者が既に解決済みと考えるような問題に取り組むことも多い。しかしながら、（簡単ではないが）このような研究によって、以前に得られた結論に誤りが発見されることもある。

この領域は、(1)場の量子論の厳密な定式化、(2)相転移の理論をはじめとする統計力学、(3)原子・分子物理学との関連を含む非相対論的量子力学（シュレーディンガー作用素）に大別される。

数学的に厳密な物理理論の構築に向けた努力は、さまざまな数学的発展の基礎となった。例えば、量子力学と関数解析学の一部は、相互に影響を与えつつ発展している。量子統計力学の数学的研究は、作用素環論における成果を生んだ。幾何学とトポロジーの利用は、弦理論において重要な役割を果たした。これらはほんの一部である。現在の研究に関する文献を調べれば、同様な事例を多数見つけることができる。

参考文献

古典

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• Courant, Richard; Hilbert, David (1989), 'Methods of mathematical physics / [Methoden der mathematischen Physik]', New York, [NY.]: Interscience Publishers 
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• Haag, Rudolf (1996), 'Local quantum physics: fields, particles, algebras' (2nd rev. & enl. ed.), Berlin, [Germany] ; New York, [NY.]: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61049-9  (softcover)
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• Morse, Philip McCord; Feshbach, Herman (1999), 'Methods of theoretical physics' (repr. ed.), Boston, [Mass.]: McGraw Hill, ISBN 0-070-43316-X  (This is a reprint of the original (1953) edition of this title.)
• von Neumann, John; Beyer, Robert T. (tr.) (1955), 'Mathematical foundations of quantum mechanics', Princeton, [NJ.]: Princeton University Press 
• Reed, Michael C.; Simon, Barry (1972-1977), 'Methods of modern mathematical physics (4 vol.)', New York. [NY.]: Academic Press, ISBN 0-125-85001-8 
• Titchmarsh, Edward Charles (1939), 'The theory of functions' (2nd ed.), London, [England]: Oxford University Press  (This tome was reprinted in 1985.)
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• Weyl, Hermann; Robertson, H. P. (tr.) (1931), 'The theory of groups and quantum mechanics / [Gruppentheorie und Quantenmechanik]', London, [England]: Methuen & Co. 
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学部生向けの参考書

• Arfken, George B.; Weber, Hans J. (1995), 'Mathematical methods for physicists' (4th ed.), San Diego, [CA.]: Academic Press, ISBN 0-120-59816-7  (pbk.)
• Boas, Mary L. (2006), 'Mathematical methods in the physical sciences' (3rd ed.), Hoboken, [NJ.]: John Wiley & Sons, ISBN 9780471198260 
• Butkov, Eugene (1968), 'Mathematical physics', Reading, [Mass.]: Addison-Wesley 
• Jeffreys, Harold; Swirles Jeffreys, Bertha (1956), 'Methods of mathematical physics' (3rd rev. ed.), Cambridge, [England]: Cambridge University Press 
• Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), 'Mathematical methods of physics' (2nd ed.), New York, [NY.]: W. A. Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1 
• Stakgold, Ivar (c.2000), 'Boundary value problems of mathematical physics (2 vol.)', Philadelphia, [PA.]: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-898-71456-7  (set : pbk.)

各論

• Aslam, Jamil; Hussain, Faheem (2007), 'Mathematical physics' Proceedings of the 12th Regional Conference, Islamabad, Pakistan, 27 March - 1 April 2006], Singapore: World Scientific, ISBN 978-981-270-591-4, http://www.worldscibooks.com/physics/6405.html 
• Baez, John C.; Muniain, Javier P. (1994), 'Gauge fields, knots, and gravity', Singapore ; River Edge, [NJ.]: World Scientific, ISBN 9-810-22034-0  (pbk.)
• Geroch, Robert (1985), 'Mathematical physics', Chicago, [IL.]: University of Chicago Press, ISBN 0-226-28862-5  (pbk.)
• Polyanin, Andrei D. (2002), 'Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists', Boca Raton, [FL.]: Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 1-584-88299-9 
• Polyanin, Alexei D.; Zaitsev, Valentin F. (2004), 'Handbook of nonlinear partial differential equations', Boca Raton, [FL.]: Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 1-584-88355-3 
• Szekeres, Peter (2004), 'A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space and differential geometry', Cambridge, [England] ; New York, [NY.]: Cambridge University Press, ISBN 0-521-53645-6  (pbk.)
• Yndurain, Francisco J (2006), 'Theoretical and Mathematical Physics. The Theory of Quark and Gluon Interactions', Springer, ISBN 978-3-540-33209-1  (pbk.)

和書

• 数理物理学の方法 R. クーラン、D. ヒルベルト、麻嶋格次郎、斎藤利弥
• 物理現象の数学的諸原理―現代数理物理学入門― 新井朝雄、共立出版
• 数理物理学の風景、新井朝雄、日本評論社
• 物理学の数理―ニュートン力学から量子力学まで―、新井朝雄 著、荒木不二洋 監修、大矢雅則 監修、丸善出版
• 数理物理学としての微分方程式序論、小澤徹、サイエンス社

関連項目

• 理論物理学
• 物理数学
• 数理科学

外部リンク

• Communications in Mathematical Physics
• Journal of Mathematical Physics
• Mathematical Physics Electronic Journal
• International Association of Mathematical Physics
• Erwin Schrödinger International Institute for Mathematical Physics
• Linear Mathematical Physics Equations: Exact Solutions - from EqWorld
• Mathematical Physics Equations: Index - from EqWorld
• Nonlinear Mathematical Physics Equations: Exact Solutions - from EqWorld
• Nonlinear Mathematical Physics Equations: Methods - from EqWorld

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数理物理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/04 08:15 UTC 版)

「負の確率」の記事における「数理物理」の解説

1942年のポール・ディラックの論文「量子力学の物理的解釈」に負のエネルギーや負の確率の概念が登場する。 負のエネルギーや負の確率をナンセンスな概念と考えてはならない。充分に定義された数学の概念であるからだ、負の金額のように。 負の確率の概念は後に物理学や量子力学で関心をひくようになる。リチャード・ファインマンは－３個のリンゴが現実で有効な概念ではないように、負の数を計算で使う物体はない、ただし負の金額は有効だが、と議論した。さらに彼は負の確率が、１以上の確率の計算に有用かもしれないと論じた。 マーク・バーギンは異なる例を挙げている。 英語に通じるA氏がテキストTを書いていると考えてみたい。テキストT中に「texxt」や「wrod」が現れる確率はいかほどか。通常の確率論によれば０である。しかし、弘法も筆の誤り、誤植が生じることもある。だがすぐに訂正されるにちがいない。確率論を拡張して、テキストT中に「texxt」が出現する確率を-0.1とする。これは「texxt」が誤植で生じることがあるが、訂正された現在のテキストT中にはないことを意味する。" —Mark Burgin、Burgin, Mark (2010年). “Interpretations of Negative Probabilities”. arXiv:1008.1287 [physics.data-an]. それからしばらく、負の確率はいくつかの問題や矛盾を解くために提案された。2005年のG.J.セーケイによる半分枚のコインは簡単な例である。このコインは無限に多くの側面を持ち、それぞれの面に０,１,２,...と番号が振ってあり、正の偶数の出現は負の確率をとる。２枚の半コインを弾くと合計はそれぞれ確率1/2で０か１であるから、通常のコインを１枚弾いたのと同じである。 「非負定義関数の畳み込み係数」と「代数確率論」 の中でルージャとセーケイは、確率変数Xが負の確率を含む符号付確率分布または擬確率分布をもつとき、確率変数Xは X+Y=Z として２つの独立した確率変数YとZを伴うことを証明した。X=Z-Y であるから、Xは２つの確率変数ZとYの「差分」ととらえられる。YがXの測定誤差で観測値がZのとき、Xの分布のうちの負の部分は誤差Yによって隠れるのである。

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「数理物理」の例文・使い方・用例・文例

• スイスの物理学者で、流体力学および数理物理学に貢献した（1700年−1782年）