複素幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/12/21 08:50 UTC 版)
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数学では、複素幾何学(ふくそきかがく、complex geometry)は複素多様体や多変数複素函数の研究をする。複素解析における幾何学的な側面であるは代数幾何学への超越な応用は、この分野に属する。
本記事を通して、「解析的」という用語は簡単のために省略することがある。例えば、部分多様体や超曲面は、「解析的」という形容詞は省略する。また、他の記事の使いかたに従い、多様体(variety)は既約(irreducible)であることを仮定する。
定義
複素解析的多様体 M の解析的部分集合(analytic subset)は、局所的には M 上の正則函数の族の零点の軌跡である。解析的部分集合がザリスキー位相で既約のときに、解析的部分多様体という。
ラインバンドルと因子
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複素幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/12/12 05:10 UTC 版)
「ミラー対称性 (弦理論)」の記事における「複素幾何学」の解説
詳細は「複素幾何学」を参照 ミラー双対の片側に現れる幾何学の一種を理解するためには、ここで複素平面の点を同一視することで、トーラス(ドーナツのようにひとつの穴のあいた閉曲面)の構成を考える。このトーラスを構成するためには、最初に商 ω 1 / ω 2 {\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}} が実数ではない複素数のペア ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} と ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} を選ばねばならない. この最後の条件は、これらの点が一直線上にない(en:collinear)ことを確かなものとしている.従って、選択された点は、もう他の頂点が 0 と ω 1 + ω 2 {\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}} である平行四辺形を決定する。この平行四辺形の反対側の辺を同一視することで、求めるトーラスが得られる。 このようにして得られるトーラスは、ひとつのトーラスが他のトーラスと連続変形可能であるという意味ですべて同値である。 他方、トーラスは加法構造を持っているので、区別することが可能となる。 すなわち、この方法で構成されたトーラスは複素構造を持っていて、そのようなトーラス上の任意の点の近傍は、複素平面の中にある領域のように見えることを意味する。 このトーラスの構成の中で、替わりに元のペアと共通因子(つまり、ある複素数 λ {\displaystyle \lambda } により ω 1 ′ = λ ω 1 {\displaystyle \omega _{1}'=\lambda \omega _{1}} と ω 2 ′ = λ ω 2 {\displaystyle \omega _{2}'=\lambda \omega _{2}} である)としてリスケールによって複素数のペア ω 1 ′ {\displaystyle \omega _{1}'} と ω 2 ′ {\displaystyle \omega _{2}'} が関連づけられるとすると、同値なトーラスを得る。従って、「比率」 τ = ω 1 / ω 2 {\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}} でトーラス全体の集まりをパラメトライズすることはさらに便利である。この比率はリスケール ω i {\displaystyle \omega _{i}} によっては変わらない。一般性を失うことなしに、このパラメータ τ {\displaystyle \tau } は正の虚部を持つので、 τ {\displaystyle \tau } は上半平面に値を持つ。また、パラメータ τ {\displaystyle \tau } , τ + 1 {\displaystyle \tau +1} , と − 1 / τ {\displaystyle -1/\tau } が同じトーラスに対応している。 もし 2つのトーラスがもともと異なる τ {\displaystyle \tau } 値に対応しているとすると、それらは等価ではない複素構造を持つ。 パラメータ τ {\displaystyle \tau } は、平行四辺形の対辺を同一視して構成されるトーラスの「形」として記述することができる。上で説明したように、ミラー対称性は 2つの物理学的な理論、位相的弦理論のA-モデルとB-モデルとを関連付ける。この双対性では、位相的B-モデルが時空の複素構造にのみ依存している。このようにして、もし「時空」がトーラスであるような理論を考えると、理論はパラメータ τ {\displaystyle \tau } にのみ依存することになる。
※この「複素幾何学」の解説は、「ミラー対称性 (弦理論)」の解説の一部です。
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