複素ベクトル束
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/21 17:28 UTC 版)
ナビゲーションに移動 検索に移動数学において、複素ベクトル束（ふくそベクトルそく、英: complex vector bundle）は、ファイバーが複素ベクトル空間であるようなベクトル束である。
任意の複素ベクトル束はスカラーの制限によって実ベクトル束と見ることができる。逆に、任意の実ベクトル束 E は複素化
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複素ベクトルバンドル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 06:10 UTC 版)
X を微分可能多様体とする。複素ベクトルバンドル π : E → X {\displaystyle \pi :E\to X} の基本不変量はバンドルのチャーン類である。定義により、チャーン類は、 c i ( E ) {\displaystyle c_{i}(E)} が H 2 i ( X , Z ) {\displaystyle H^{2i}(X,\mathbb {Z} )} の元であり、次の公理をみたすような数列 c 1 , c 2 , … {\displaystyle c_{1},c_{2},\dots } ことである。 任意の微分可能写像 f : Z → X {\displaystyle f:Z\to X} に対し、 c i ( f ∗ ( E ) ) = f ∗ ( c i ( E ) ) . {\displaystyle c_{i}(f^{*}(E))=f^{*}(c_{i}(E))\ .} c ( E ⊕ F ) = c ( E ) ∪ c ( F ) {\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\cup c(F)} ここに、F は E と異なるバンドルで c = 1 + c 1 + c 2 + … {\displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\dots } とする。 i > rk E {\displaystyle i>\operatorname {rk} E} に対し、 c i ( E ) = 0 . {\displaystyle c_{i}(E)=0\ .} E 1 {\displaystyle E_{1}} を C P 1 {\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}} 上の標準バンドルとすると、 − c 1 ( E 1 ) {\displaystyle -c_{1}(E_{1})} は H 2 ( C P 1 , Z ) {\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1},\mathbb {Z} )} を生成する。 L をラインバンドルとすると、L のチャーン指標は、 ch ( L ) = e c 1 ( L ) {\displaystyle \operatorname {ch} (L)=e^{c_{1}(L)}} で与えられる。さらに一般的には、E をランク r のベクトルバンドルとすると、形式的な分解 ∑ c i ( E ) t i = ∏ 1 r ( 1 + η i t ) {\displaystyle \sum c_{i}(E)t^{i}=\prod _{1}^{r}(1+\eta _{i}t)} 得て、 ch ( E ) = ∑ e η i {\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\sum e^{\eta _{i}}} とおくことができる。
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