他の不変量との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 21:24 UTC 版)
問題のバンドル E がコンパクトで向き付けられた r-次元多様体の接バンドルである特別な場合は、オイラー類は多様体のコホモロジーの最高次数の元であり、自然に基本ホモロジー類上の整数係数のコホモロジー類と同一視される。この同一視により、接バンドルのオイラー類は、多様体のオイラー標数に等しくなる。特性数の言葉では、オイラー標数はオイラー類に対応する特性数である。 このように、オイラー類は接バンドル以外へのオイラー標数の一般化であり、ベクトルバンドル以外の特性類の原型となった。それぞれの最高次数の特性類は、次のようにオイラー類である。 2 による剰余をとることは、写像 H r ( X , Z ) → H r ( X , Z / 2 ) {\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {Z} )\to H^{r}(X,\mathbf {Z} /2)} を引き起こす。この写像によりオイラー類の像は、最高次数のスティーフェル・ホイットニー類 wr(E) である。スティーフェル・ホイットニー類は、向き付けを無視したオイラー類とみなすこともできる。 複素ランク d の複素ベクトルバンドル V は実ランク 2d の向き付けられた実ベクトルバンドルとみなすことができる。複素ベクトルバンドルの最高次数のチャーン類 cd(V) は、実バンドルのオイラー類 e(E) に等しい。 ホットニー和 E ⊕ E は、ランク r の複素ベクトルバンドルである E の複素化 E ⊗ C に同型である。オイラー類と比較すると、 e ( E ) ∪ e ( E ) = e ( E ⊕ E ) = e ( E ⊗ C ) = c r ( E ⊗ C ) ∈ H 2 r ( X , Z ) {\displaystyle e(E)\cup e(E)=e(E\oplus E)=e(E\otimes \mathbf {C} )=c_{r}(E\otimes \mathbf {C} )\in H^{2r}(X,\mathbf {Z} )} であることが分かる。
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