他の不定形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 02:48 UTC 版)
0/0、∞/∞ 以外、すなわち " 1∞ ", " 00 ", " ∞0 ", " 0·∞ ", " ∞ − ∞ " などの不定形に対してもロピタルの定理を適用できる可能性がある。例えば、 "∞ − ∞" を含む極限を求めるためには二つの関数の差を分数に変換することにより、 lim x → 1 ( x x − 1 − 1 ln x ) = lim x → 1 x ln x − x + 1 ( x − 1 ) ln x ( 1 ) = lim x → 1 ln x x − 1 x + ln x ( 2 ) = lim x → 1 x ln x x − 1 + x ln x ( 3 ) = lim x → 1 1 + ln x 2 + ln x ( 4 ) = 1 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\ln x-x+1}{(x-1)\ln x}}\quad &(1)\\&=\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}\quad &(2)\\&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\ln x}{x-1+x\ln x}}\quad &(3)\\&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{2+\ln x}}\quad &(4)\\&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}} を得る。ここにロピタルの定理が (1) から (2) そして (3) から (4) への変形に用いられた。 指数関数を含む不定形では、対数を用いて指数部から降ろすとロピタルの定理を適用できる可能性がある。次の式は 00形の不定形を含む例である。 lim x → 0 + x x = lim x → 0 + e ln x x = lim x → 0 + e x ln x = e lim x → 0 + x ln x {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x}} ここで、指数関数は連続であるので、極限を指数関数の内側に移動することが有効である。すると指数 x {\displaystyle x} を指数部から降ろすことができる。極限 lim x → 0 + x ln x {\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x} は 0·(−∞) 形の不定形となるが、上で示した例と同様にロピタルの定理を適用することができ、 lim x → 0 + x ln x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=0} を得て、極限は次のように求められる。 lim x → 0 + x x = e 0 = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=e^{0}=1}
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