コホモロジー

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コホモロジー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/17 00:51 UTC 版)

数学、とくにホモロジー論と代数トポロジーにおいて、コホモロジー (cohomology) とはコチェイン複体から定義されるアーベル群の列を意味する一般的な用語である。つまり、コホモロジーはコチェイン、コサイクル、そしてコバウンダリの抽象的な研究として定義される。コホモロジーは、代数的不変量を、ホモロジーがもっているよりも洗練された代数的構造をもつ位相空間に割り当てる手法と見ることができる。コホモロジーはホモロジーの構成の代数的な双対から生じる。より抽象的でない言葉で言えば、基本的な意味でのコチェインは'量'をホモロジー論のチェインに割り当てる。

位相幾何学におけるその起源から、このアイデアは20世紀後半の数学において主要な手法となった。チェインについての位相的不変関係としてのホモロジーの最初の考えから、ホモロジーとコホモロジーの理論の応用の範囲は幾何学と抽象代数学に渡って拡がった。その名称によって、コホモロジー、反変理論、の方がホモロジーよりも多くの応用において自然なものであるという事実が隠されがちである。基本的なレベルではこれは幾何学的な状況において関数と引き戻しを扱う。空間 X と Y、そして Y 上のある種の関数 F が与えられたとすると、任意の写像 f : X → Y に対して、f との合成は X 上の関数 F o f を引き起こす。コホモロジー群はまたしばしば自然な積、カップ積をもっており、環の構造を与える。この特徴のために、コホモロジーはホモロジーよりも強い不変量である。ホモロジーでは区別できないある種の代数的対象をコホモロジーでは区別可能なのである。

定義

代数トポロジーにおいて、空間のコホモロジー群は次のように定義できる（Hatcher を参照）。位相空間 X が与えられたとき、チェイン複体

$\cdots \rightarrow C_{n}{\stackrel {\partial _{n}}{\rightarrow }}\ C_{n-1}\rightarrow \cdots$

主要概念

• 開集合 / 閉集合
• 連続性
• 空間
  • コンパクト
  • ハウスドルフ
  • 距離
  • 一様
• ホモトピー
  • ホモトピー群
• 基本群
• 単体複体
• CW複体
• 完全列
• ホモロジー代数
• K理論

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コホモロジー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 06:45 UTC 版)

「特異ホモロジー」の記事における「コホモロジー」の解説

ホモロジーチェイン複体を双対化することによって（すなわち R を任意の環として関手 Hom(-, R) を適用することによって）コバウンダリ写像 δ をもったコチェイン複体を得る。X のコホモロジー群 (cohomology group) はこの複体のコホモロジー群として定義される。軽口に言えば、「コホモロジーは コ [双対複体] のホモロジーである。」 コホモロジー群はより豊富な、あるいは少なくともよりよく知られた、代数的構造をホモロジー群よりももつ。まず、それらは以下のように次数付き微分代数をなす。 群の次数付き集合は次数付き R-加群をなす。 これはカップ積を用いて次数付き R-代数の構造を与えることができる。 Bockstein準同型（英語版） β が微分を与える。 これらは付加的なコホモロジーの演算（英語版）であり、コホモロジー代数は付加構造 mod p をもつ（前の通り、mod p コホモロジーは mod p コチェイン複体のコホモロジーであり、コホモロジーの mod p での還元ではない）、とくに Steenrod 代数（英語版）の構造をもつ。