エタール・コホモロジーへの写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/27 15:22 UTC 版)
「モチヴィック・コホモロジー」の記事における「エタール・コホモロジーへの写像」の解説
X を体 k 上の滑らかなスキーム、m を k で可逆な正の整数とする。このとき、モチヴィック・コホモロジーからエタール・コホモロジーへのサイクル写像と呼ばれる自然な準同型 H i ( X , Z / m ( j ) ) → H e t i ( X , Z / m ( j ) ) {\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))} が存在する。 ここで、右の Z/m(j) は、1の m 乗根 μm からなるエタール層 (μm)⊗j である。これは、滑らかな多様体のチャウ環からエタール・コホモロジーへのサイクル写像（英語版）の一般化になっている。 モチヴィック・コホモロジーを計算することが代数幾何学や数論の目標になることが多いが、一方、エタール・コホモロジーのほうが理解が容易なことが多い。例えば、基礎体 k が複素数体であれば、エタール・コホモロジーは（有限な係数の）特異コホモロジーと一致する。ヴォエヴォドスキーによって証明されたベイリンソン・リヒテンバウム予想は、多くのモチヴィック・コホモロジー群は、実際にはエタール・コホモロジー群と同型であるというもので、強力な結果である。これはノルム剰余同型定理の帰結である。つまり、ベイリンソン・リヒテンバウム予想（ヴォエヴォドスキーの定理）は、体 k 上滑らかなスキーム X と k で可逆である正の整数 m に対して、サイクル写像 H i ( X , Z / m ( j ) ) → H e t i ( X , Z / m ( j ) ) {\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))} は全ての j ≥ i に対して同型写像であり、全ての j ≥ i − 1 に対して単射であると主張する。
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