同型写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/23 04:26 UTC 版)
注釈
- ^ from the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape"
- ^ 逆関数ではない
- ^ 注意深い読者は A, B, C が慣習的な順序、すなわちアルファベット順であり、同様に 1, 2, 3 も整数の順番だから、1つの特定の同型、すなわち
- ^ 実は、2つの3元集合の間の異なる同型写像はちょうど 3! = 6 個ある。これは与えられた3元集合の自己同型の個数に等しく（そして3文字の対称群の位数に等しく）、一般に2つの対象の間の同型写像の集合 Iso(A, B) は A の自己同型群 Aut(A) の torsor であり B の自己同型群の torsor でもある。実は、対象の自己同型は、この後述べるようにベクトル空間のその双対や二重双対との同一視における基底の変換の影響によって論証されるように、同型と等号を区別する主な理由である。
- ^ 正確には、複素数の実平面との同一視
出典
- ^ Awodey, Steve (2006). “Isomorphisms”. Category theory. Oxford University Press. p. 11. ISBN 9780198568612
- ^ Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). A Course in Algebra. American Mathematical Society. p. 3. ISBN 9780821834138
- ^ Mazur 2007.
同型写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/08 21:20 UTC 版)
「ジャイロベクトル空間」の記事における「同型写像」の解説
ジャイロ空間の同型写像は、ジャイロ群の加算とスカラー倍、そして内積を保つ。 先に述べた3つのジャイロ空間（メビウスジャイロ空間、アインシュタインジャイロ空間、固有速度ジャイロ空間）は同型である。 M, E, Uをそれぞれメビウス、アインシュタイン、固有速度ジャイロベクトル空間とし、それぞれの要素 vm, ve, vu を取る。このとき、これらの間の同型写像は以下のように与えられる。 E → {\displaystyle \rightarrow } U by γ v e v e {\displaystyle \gamma _{\mathbf {v} _{e}}\mathbf {v} _{e}} U → {\displaystyle \rightarrow } E by β v u v u {\displaystyle \beta _{\mathbf {v} _{u}}\mathbf {v} _{u}} E → {\displaystyle \rightarrow } M by 1 2 ⊗ E v e {\displaystyle {\frac {1}{2}}\otimes _{E}\mathbf {v} _{e}} M → {\displaystyle \rightarrow } E by 2 ⊗ M v m {\displaystyle 2\otimes _{M}\mathbf {v} _{m}} M → {\displaystyle \rightarrow } U by 2 γ 2 v m v m {\displaystyle 2{{{\gamma }^{2}}_{\mathbf {v} _{m}}}\mathbf {v} _{m}} U → {\displaystyle \rightarrow } M by β v u 1 + β v u v u {\displaystyle {\frac {\beta _{\mathbf {v} _{u}}}{1+\beta _{\mathbf {v} _{u}}}}\mathbf {v} _{u}} ただし、 ⊕ E {\displaystyle \oplus _{E}} と ⊕ M {\displaystyle \oplus _{M}} は次の等式で与えられる。 u ⊕ E v = 2 ⊗ ( 1 2 ⊗ u ⊕ M 1 2 ⊗ v ) {\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} =2\otimes \left({{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {u} \oplus _{M}{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {v} }\right)} u ⊕ M v = 1 2 ⊗ ( 2 ⊗ u ⊕ E 2 ⊗ v ) {\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\otimes \left({2\otimes \mathbf {u} \oplus _{E}2\otimes \mathbf {v} }\right)} これはメビウス変換とローレンツ変換の関係に関係がある。
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