同値類の間の同型写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/02 16:08 UTC 版)
「ラグランジュの定理 (群論)」の記事における「同値類の間の同型写像」の解説
部分群 H から同値類 aH への写像 φa : H → aH を φa(h) = ah と定義するとき、φa(h1) = φa(h2) とすると、ah1 = ah2 となるから、左から a-1 を掛けて h1 = h2 となるので、写像 φa は単射になる。写像 φa による部分群 H の像が aH だから写像 φa は全射になり、全単射になる。したがって、写像 φa の逆写像 φa-1: aH → H は φa-1(x) = a-1x となる。これより、同値類 aH から同値類 bH への写像 f : aH → bH を f (x) = (φb⚬φa-1)(x) = φb(φa-1(x)) = ba-1x と定義すると写像 f は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類 aH と bH は同型となり、|aH| = |bH| = |H| となる。
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