同値関係の比較
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:04 UTC 版)
「集合の分割#分割の細分」も参照 集合 S 上の2つの同値関係 ~, ≈ が a ~ b ならば a ≈ b を任意の a, b ∈ S に対して満たすとき、同値関係 ≈ は ~ より粗い (coarser) または弱いといい、~ は ≈ より細かい (finer) または強いという。 同値類の言葉で言えば ~ が ≈ より細かい（強い）とは、~ に関する任意の同値類が ≈ に関する適当な同値類の部分集合となるときにいう。 それゆえ、≈ に関する任意の同値類は ~ に関する同値類の合併になる。すなわち ~ が ≈ より細かい（強い）とは、~ の定める分割が ≈ の定める分割の細分となるときに言う。 とも言い換えられる。 相等関係は任意の集合上で最も強い同値関係であり、自明な関係 は最も弱い同値関係であり、任意の2つの元は互いに同値になる。 集合 S を固定して考えるとき、その上の同値関係全体の成す集合上で、"~ は ≈ より細かい" という関係はそれ自身半順序を成し、それにより S 上の同値関係の全体は幾何束（英語版）をなす。
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