同値類による指数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/02 16:08 UTC 版)
「ラグランジュの定理 (群論)」の記事における「同値類による指数」の解説
左剰余類の集合 G/H の要素の個数（濃度）である |G/H| を G における H の指数（index of a subgroup H in a group G）と呼び、[G : H] または |G : H| または (G : H) と書く。 G/H が有限集合の場合は、G/H = {a1H, a2H, a3H, …, akH} と表すことができて、[G : H] = |G/H| = k となる。 G が有限群の場合は、以下のように書ける： H = { h 1 , h 2 , h 3 , ⋯ , h m } , a 1 H = { a 1 h 1 , a 1 h 2 , a 1 h 3 , ⋯ , a 1 h m } , a 2 H = { a 2 h 1 , a 2 h 2 , a 2 h 3 , ⋯ , a 2 h m } , a 3 H = { a 3 h 1 , a 3 h 2 , a 3 h 3 , ⋯ , a 3 h m } , ⋯ a k H = { a k h 1 , a k h 2 , a k h 3 , ⋯ , a k h m } , G / H = { a 1 H , a 2 H , a 3 H , ⋯ , a k H } , G = a 1 H ∪ a 2 H ∪ a 3 H ∪ ⋯ ∪ a k H ( i ≠ j ⇒ a i H ∩ a j H = ∅ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}H&=\{h_{1},h_{2},h_{3},\cdots ,h_{m}\},\\a_{1}H&=\{a_{1}h_{1},a_{1}h_{2},a_{1}h_{3},\cdots ,a_{1}h_{m}\},\\a_{2}H&=\{a_{2}h_{1},a_{2}h_{2},a_{2}h_{3},\cdots ,a_{2}h_{m}\},\\a_{3}H&=\{a_{3}h_{1},a_{3}h_{2},a_{3}h_{3},\cdots ,a_{3}h_{m}\},\\\cdots \\a_{k}H&=\{a_{k}h_{1},a_{k}h_{2},a_{k}h_{3},\cdots ,a_{k}h_{m}\},\\G/H&=\{a_{1}H,a_{2}H,a_{3}H,\cdots ,a_{k}H\},\\G&=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{k}H\ \ (i\neq j\Rightarrow a_{i}H\cap a_{j}H=\emptyset ).\end{aligned}}}
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