分割の細分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:56 UTC 版)
集合 X の分割 π が集合 X の分割 ρ の細分 (refinement) であるとは、π の個々の元が全て ρ のいずれかの元の部分集合であることを言う。大雑把に言えば、π の方が p よりも分割が細かい。これを π ≤ ρ と表記することもある。 X の分割の集合におけるこの「より細かい」関係は半順序であり（そのため "≤" で表すのが適当）、実のところ完備束である。例えば、X = {1, 2, 3, 4} の「分割束」には15の元があり、以下のハッセ図で表される。 もう1つの例として、同値関係の観点から分割を細分化する方法を述べる。D を一般的なトランプの52枚のカードの集合とする。D における「色が同じ」という関係を ~C などと表記する。このとき2つの同値類、{赤いカード} という集合と {黒いカード} という集合が得られる。この ~C に対応した2ブロックの分割には「スートが同じ」という関係 ~S による細分が存在し、4つの同値類 {スペード}、{ダイヤ}、{ハート}、{クラブ} が得られる。
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分割の細分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/22 12:10 UTC 版)
与えられた区間の分割 P に対して、同じ区間の別の分割 Q が P の細分 (refinement) であるとは（他に点が加わっていてもよいから）P の分点をすべて含むときに言う。このとき分割 Q は P より細かい (finer) と言う。また、細かい分割のほうが大きいと定義することにより、与えられた区間上の分割全体の成す集合上に半順序を入れることができる。すなわち、分割 P, Q に対し、その分点からなる集合をそれぞれ P', Q' とすれば、 P ⪯ Q ⟺ P ′ ⊆ Q ′ {\displaystyle P\preceq Q\iff P'\subseteq Q'} である。二つの分割 P, Q に対して、その共通細分 (common refinement) P ∨ Q を、P, Q の全ての分点をその大きさの順で並べ直して得られる点列として与えることができる。
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