ℓ進コホモロジー群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 01:24 UTC 版)
「エタール・コホモロジー」の記事における「ℓ進コホモロジー群」の解説
エタール・コホモロジーは係数がZ/nZの場合には上手く働くが、ねじれを持たない(たとえば整係数や有理係数)場合は満足する結果を与えない。エタール・コホモロジーからねじれを持たないコホモロジー群を得るためには、ねじれを持つ係数のエタール・コホモロジーの逆極限をとればよい。これはℓ進コホモロジーもしくはℓ進エタール・コホモロジーと呼ばれる。ここでℓは考えているスキームVの標数pとは異なる任意の素数を表す。たとえば定数層Z/ℓkZのエタール・コホモロジー H i ( V , Z / l k Z ) {\displaystyle H^{i}(V,\mathbb {Z} /l^{k}\mathbb {Z} )} の逆極限 H i ( V , Z l ) = lim ← H i ( V , Z / l k Z ) {\displaystyle H^{i}(V,\mathbb {Z} _{l})=\lim _{\leftarrow }H^{i}(V,\mathbb {Z} /l^{k}\mathbb {Z} )} としてℓ進コホモロジーが定義される。ここで注意しなければならないのだが、コホモロジー(右導来関手をとる操作)は逆極限をとる操作と可換ではない。したがってこのℓ進コホモロジーはエタール層Zℓに係数をもつエタール・コホモロジーとは異なるものである。後者のコホモロジーは存在するが"悪い"コホモロジー群を与える。 ℓ進コホモロジーからねじれ部分群を取り除き、標数0の体上のベクトル空間としてコホモロジー群を得たいならば H i ( V , Q l ) = H i ( V , Z l ) ⊗ Q l {\displaystyle H^{i}(V,\mathbb {Q} _{l})=H^{i}(V,\mathbb {Z} _{l})\otimes \mathbb {Q} _{l}} と定義する。ここでこの記法は誤解を与えるのだが、Qℓはエタール層でもℓ進層でもない。
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