鎖複体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/09/10 20:14 UTC 版)
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数学において、鎖複体(さふくたい)あるいはチェイン複体 (英: chain complex) と双対鎖複体あるいは余鎖複体、コチェイン複体 (英: cochain complex) は、元来は代数トポロジーの分野で使われていた。(余)鎖複体は、位相空間の様々な次元の(コ)サイクルと(コ)バウンダリの間の関係を表す代数的な手段である。より一般的に、ホモロジー代数では、空間との関係を立ち去った抽象的な鎖複体の研究がされる。ホモロジー代数としての研究では、(余)鎖複体を公理的に代数的構造として扱う。
(余)鎖複体の応用は、通常、ホモロジー群(余鎖複体ではコホモロジー群)を定義し適用する。より抽象的な設定では、様々な同値関係(たとえば、チェインホモトピーのアイデアで始まるもの)が複体へ適用される。鎖複体は、アーベル圏で定義することも容易にできる。
定義
鎖複体
チェインホモトピーはチェイン写像の間の重要な同値関係をもたらす。チェインホモトピックなチェイン写像は、ホモロジー群上の同じ写像を引き起こす。特別な場合として、2つの空間 X と Y の間のホモトピックな写像は X のホモロジーから Y のホモロジーへの同一の写像をもたらす。チェインホモトピーは幾何学的な解釈があり、たとえば、ボット (Bott) とトゥ (Tu) の本に記載がある。さらなる情報は、チェイン複体のホモトピー圏を参照。
関連項目
- 次数付き微分代数
- 次数付き微分リー代数
- ドールド・カン対応は、鎖複体の圏と単体的アーベル群の圏が同値であることを言っている。
参考文献
- Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3
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