鎖複体
(チェイン写像 から転送)
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数学において、鎖複体（さふくたい）あるいはチェイン複体 (英: chain complex) と双対鎖複体あるいは余鎖複体、コチェイン複体 (英: cochain complex) は、元来は代数トポロジーの分野で使われていた。（余）鎖複体は、位相空間の様々な次元の（コ）サイクルと（コ）バウンダリの間の関係を表す代数的な手段である。より一般的に、ホモロジー代数では、空間との関係を立ち去った抽象的な鎖複体の研究がされる。ホモロジー代数としての研究では、（余）鎖複体を公理的に代数的構造として扱う。
（余）鎖複体の応用は、通常、ホモロジー群（余鎖複体ではコホモロジー群）を定義し適用する。より抽象的な設定では、様々な同値関係（たとえば、チェインホモトピーのアイデアで始まるもの）が複体へ適用される。鎖複体は、アーベル圏で定義することも容易にできる。
定義
鎖複体 
チェインホモトピーはチェイン写像の間の重要な同値関係をもたらす。チェインホモトピックなチェイン写像は、ホモロジー群上の同じ写像を引き起こす。特別な場合として、2つの空間 X と Y の間のホモトピックな写像は X のホモロジーから Y のホモロジーへの同一の写像をもたらす。チェインホモトピーは幾何学的な解釈があり、たとえば、ボット (Bott) とトゥ (Tu) の本に記載がある。さらなる情報は、チェイン複体のホモトピー圏を参照。
関連項目
- 次数付き微分代数
- 次数付き微分リー代数
- ドールド・カン対応は、鎖複体の圏と単体的アーベル群の圏が同値であることを言っている。
参考文献
- Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3
チェイン写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/07 04:41 UTC 版)
2つの鎖複体 ( A ∙ , d A , ∙ ) {\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })} と ( B ∙ , d B , ∙ ) {\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })} の間のチェイン写像は、各 n に対する加群準同型 f n : A n → B n {\displaystyle f_{n}\colon A_{n}\rightarrow B_{n}} の列 f ∙ {\displaystyle f_{\bullet }} であって、2つのチェイン複体上のバウンダリ作用素と可換なもの d B , n ∘ f n = f n − 1 ∘ d A , n {\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}} である。そのような写像は、サイクルをサイクルに、バウンダリをバウンダリへ写すので、ホモロジーの射 ( f ∙ ) ∗ : H ∙ ( A ∙ , d A , ∙ ) → H ∙ ( B ∙ , d B , ∙ ) {\displaystyle (f_{\bullet })_{*}\colon H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })} が誘導される。 位相空間の間の連続写像は、上記の特異複体とド・ラーム複体の双方に対して（そして一般に、位相空間の任意のホモロジー論を定義する鎖複体に対して）チェイン写像を引き起こし、従って、連続写像はホモロジー上の写像を引き起こす。写像の合成によって引き起こされた写像は、引き起こされた写像の合成であるので、これらのホモロジー論は位相空間と連続写像の圏からアーベル群と群準同型の圏への函手である。 チェイン写像の概念は、チェイン写像の錐（英語版）の構成を通してバウンダリの概念に帰着することは注目に値する。
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