ホモロジー代数学
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ホモロジー代数学（ホモロジーだいすうがく、英: homological algebra）は、一般の代数的な設定のもとでホモロジーを研究する数学の分野である。それは比較的新しい分野であり、その起源は19世紀の終わりの、組み合わせ論的トポロジー（代数トポロジーの前身）と抽象代数学（加群や syzygy の理論）の、主にアンリ・ポアンカレとダフィット・ヒルベルトによる研究にまでさかのぼる。
- ^ History of Homological Algebra, by Chuck Weibel, pp.797-836 in the book The History of Topology, ed. I.M. James, Elsevier, 1999
- 1 ホモロジー代数学とは
- 2 ホモロジー代数学の概要
- 3 関手性
- 4 基礎的な見地
- 5 関連項目
ホモロジー論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/05 10:19 UTC 版)
CW複体のホモロジー群の計算は、アルゴリズム的には境界行列（boundary matrices）のスミス標準形（Smith normal form）への変形問題に帰着するが、複体が巨大な場合に効率的に計算するには種々の障碍がある[要出典]。 位相的データ解析に関連して活溌に研究されている。 効率的な確率論的スミス標準形（Smith normal form）変形アルゴリズムが LinBoxライブラリに実装されている。 永続的ホモロジー（persistent homology）を計算するためのアルゴリズムがPerseus、TDAstats（R言語のパッケージ）等に実装されている。
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ホモロジー論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 21:23 UTC 版)
コンパクトな修正可能な（英語版）(rectifiable)向きつけられた部分多様体 M（次元 m である境界付き多様体(with boundary)）上での積分は、m-カレントを [ [ M ] ] ( ω ) = ∫ M ω {\displaystyle [[M]](\omega )=\int _{M}\omega } と定義することができる。 M の境界(boundary) ∂M が修正可能であれば、積分によりカレントを定義するに充分であり、ストークスの定理により、 [ [ ∂ M ] ] ( ω ) = ∫ ∂ M ω = ∫ M d ω = [ [ M ] ] ( d ω ) {\displaystyle [[\partial M]](\omega )=\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega =[[M]](d\omega )} を得る。これは M のホモロジー上の境界作用素 ∂ と外微分 d とを関連付ける。 この公式から、すべてのコンパクトなサポートを持つ m-カレントに対し、カレント上の境界作用素 ∂ : D m + 1 → D m {\displaystyle \partial \colon {\mathcal {D}}_{m+1}\to {\mathcal {D}}_{m}} を ( ∂ T ) ( ω ) := T ( d ω ) {\displaystyle (\partial T)(\omega ):=T(d\omega )\,} で定義することができる。
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