ホモロジー_(数学)

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ホモロジー (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/19 02:09 UTC 版)

数学、とくに代数的位相幾何学や抽象代数学において、ホモロジー（英語: homology）は与えられた数学的対象、例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続きをいう。ホモロジーの名は「同一である」ことを意味するギリシャ語のホモス（ὁμός）に由来する。より詳しい背景については ホモロジー論 を見られたい。また、ホモロジーの手法の位相空間に対する具体的な適用については特異ホモロジーを、群についてのそれは群コホモロジーを、それぞれ参照されたい。

位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー群よりもずっと計算しやすく、したがって、空間を分類する道具としてはより手軽に扱える。

ホモロジー群の構成

ホモロジー群は以下のような手続きを経て作られる。

数学的対象、たとえば位相空間 X が与えられたとき、まず X の情報を抽出したチェイン複体 C(X) を構成する。チェイン複体はアーベル群や加群 C₀, C₁, C₂, ... を境界作用素とよばれる群準同型 ∂_n: C_n → C_n-1 でつないだもの

$\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}\longrightarrow 0,$

円板及び円環上の横断線の例。円板は、図の破線部分を横断線として切断することで2つに分かれる。一方、円環上には切断しても2つに別れない横断線が存在する。

1851年、ベルンハルト・リーマンは学位論文「複素一変数関数の一般論の基礎」の中で曲面の連結度（connectivity）というものを考えた。これは次のように定義される。まず、曲面の境界上の2点を結ぶ曲線を横断線と呼ぶことにする。曲面が円板のような形をしている場合には、横断線で曲面を切断すると曲面が2つに分かれる。どのような横断線で切断しても曲面が2つに分かれるとき、そのような曲面を単連結と呼ぶことにする（現代の定義とは異なる）。ある任意の曲面が n 本の横断線によって切断したとき m 個の単連結な領域に分割されるならば、その曲面の連結度を n − m と定義する。例えば円板の連結度は −1 であり、円板から小さな円板をくり抜いた円環の連結度は 0 である。

この論文では考えている幾何学的対象に境界が存在することを仮定している。そして横断線というツールを使って連結度という数字（位相的不変量）が定義されている。リーマンは切断のアイデアをカール・フリードリヒ・ガウスから学んだとエンリコ・ベッチに語っている。ガウスは位置の幾何学、つまり現在トポロジーと呼ばれている数学の一分野について自分の研究成果を発表することは無かった。しかし位置の幾何学について書いた文章が数多く遺されており、終生興味を持ち続け熱心に研究していた。ガウスが位置の幾何学を重視していたことはリーマンにも影響を与えた。

円板及び円環上の閉曲線の例。円板上に描いた閉曲線は内部の領域の境界となる。一方、円環上に描いた閉曲線はそうはなっていない。現代的には1次元のホモロジー群の階数を見ていることになる。

1857年、リーマンは「アーベル関数の理論」と題した論文を公表する。この論文で再び曲面の連結性の数（connectedness number）という概念を考える。これは次のように定義される。曲面の上に n 本の閉曲線の族があり、どの閉曲線の組み合わせを取っても部分曲面の完全境界にならなかったとする。さらに、この族にどのような閉曲線を加えてもこの性質を満たさなくなるとする。このとき、この曲面を n + 1 重連結であると呼ぶ。例えば、円板は1重連結であり、円環は2重連結である。連結性の数は境界の無い曲面に対しても定義することができ、例えば球面の連結性の数は1である。連結性の数の定義に完全境界という概念を使ったのは正則関数を領域の境界に沿って線積分すると0になることによる。

ここには、考えている曲面の境界は考えず、連結性の数の定義においてツールとして用いる曲線が境界かどうかを考えるという、発想の転換があり、サイクルのなす群をバウンダリのなす群で割るというアイデアの原型を見ることができる。

ベッチ、連結度の高次元化

中身の詰まったドーナツ。図に示した円板で切断しても2つに分かれない。

病弱だったリーマンは頻繁にイタリアに療養に出かけていた。イタリアでは友人のベッチに会っていた。

1863年、ベッチは友人でもあり同僚でもある Tardy に宛てた手紙の中で、リーマンと空間の連結度について話し合い、空間の連結度についてのアイデアが明確になった、と書いている。ベッチが手紙に書いた空間の連結度とは次のように定義される。まず単連結の概念を高次元化する。空間が単連結であるとは、すべての閉曲面がある部分空間の境界になり、すべての閉曲線がある部分曲面の境界になることとする（現代の定義とは異なる）。例えば中身の詰まった球は単連結である。そして、空間の連結度が (m, n) であるとは、空間を単連結にするために必要な曲面による切断が m 回、曲線による切断が n 回であることと定義する。例えば中身の詰まったドーナツを考える。これは単連結ではないが、ドーナツの一部を円板に沿って切断すれば単連結になるので、この空間の連結度は (1, 0) である。ベッチが手紙に書いている連結度はリーマンの学位論文に見られるアイデアを高次元化したものと思える。

1866年、リーマンが39歳で死亡する。

1871年、ベッチは "Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni" と題した論文を公表する。こちらでは、高次元空間の m 次元の連結度を m + 1 次元部分空間の境界にならない m 次元部分空間の最大数として定義しているようである。これは、リーマンの1857年の論文「アーベル関数の理論」におけるアイデアを高次元化したものと思える。

ポアンカレ、ホモロジー

1895年、ポアンカレは記念碑的な論文「位置解析」を公表する。この中でポアンカレは多様体の部分多様体の形式和にホモロジーという同値関係を定義し、これを基礎に多様体の連結度の新しい定義を与えた。そしてこれをベッチ数と呼んだ。ポアンカレは、ベッチ数は考えているがホモロジー群は考えていなかった（基本群は考えている）。

なお、ポアンカレの論文のタイトルにもなっている「位置解析」（Analysis Situs）という言葉はゴットフリート・ライプニッツによる。

ネーター、数から群へ

ホモロジー群の概念はエミー・ネーターにより見出された。ある伝承によれば、それは1926年、アクサンドロフとハインツ・ホップがレフシェッツ不動点定理の証明の難しい部分について研究していたときのことであったという。彼らがこれについてネーターと議論したとき、ベッチ数ではなくホモロジー群を考えその群の適当な自己準同型の跡を考えれば証明が分かりやすくなることを彼女が指摘したという。また別の伝承によれば、彼女はベッチ数とねじれ係数（torsion coefficients）はあるアーベル群の標準的な不変量と見るべきもので、そのアーベル群こそがホモロジー的連結度の概念的定式化のための適切なツールだと単に見抜いたとされている。他の説によれば、それは1925年のことであったという。彼女がドイツ数学会の年次報告で有限生成アーベル群の構造定理のベッチ数とねじれ係数への応用について言及し、そしてゲッティンゲンの講義においてホモロジーとは単にベッチ数やねじれ係数ではなくアーベル群なのだと指摘したという。彼女は、研究の主眼はホモロジー群に置くべきだと強調したと伝えられている。今となっては何が真実か定かではないが、はっきりしていることは、ネーターが1925年に有限生成アーベル群の構造定理のベッチ数・ねじれ係数への応用について言及したこと、1932年のアレクサンドロフの本『位相幾何学の基礎概念』の中でホモロジー群が使われていること、1935年のアレクサンドロフとホップの共著『Topologie』の序文でネーターの助言に対して謝辞が述べられていることである。

また、これと独立に、レオポルト・ヴィートリスとヴァルター・マイヤーも1925年から28年にかけてホモロジー理論を発展させている。これより前の時代には、組合せ位相幾何学においてホモロジー類にあたるものはアーベル群をなすとは考えられていなかった。ホモロジー群の急速な普及により、用語が変更され、「組合せ位相幾何学」の立場から「代数的位相幾何学」への移行が起こった。

関連項目

• 単体的ホモロジー
• 特異ホモロジー
• 胞体的ホモロジー
• ホモロジー理論
• ホモロジー代数
• コホモロジー

参考文献

• Cartan, Henri Paul and Eilenberg, Samuel (1956) Homological Algebra, Princeton University Press, Princeton, NJ, OCLC 529171
• Herbert Edelsbrunner and John L. Harer: Computational Topology: An Introduction, AMS (2010)
  • Herbert Edelsbrunner、John L. Harer:「計算トポロジー入門」、共立出版、ISBN 978-4-32011494-4 (2023年9月12日）．
• Eilenberg, Samuel and Moore, J. C. (1965) Foundations of relative homological algebra (Memoirs of the American Mathematical Society number 55) , American Mathematical Society, Providence, R.I., OCLC 1361982
• Hatcher, A., (2002) Algebraic Topology Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. 単体複体や多様体のホモロジー理論や、特異ホモロジーなどについての詳しい解説を含む。
• Tomasz Kaczynski, Konstantin Mischaikow and Marian Mrozek: Computational Homology, Springer, ISBN 978-0-387-21597-6 (2004)

• Homology (Topological space) - PlanetMath.org（英語）

歴史関連

• Hilton, Peter (1988), “A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century”, Mathematics Magazine 60 (5): 282-291, http://www.jstor.org/stable/2689545?origin=JSTOR-pdf 

• Teicher, M. (ed.) (1999), The Heritage of Emmy Noether, Israel Mathematical Conference Proceedings, Bar-Ilan University/American Mathematical Society/Oxford University Press, ISBN 978-0198510451, OCLC 223099225 

• Weibel, C. (1999). CHAPTER 28 – History of Homological Algebra (PDF). doi:10.1016/B978-044482375-5/50029-8。

• MacLane, Saunders (1976). “Topology and logic as a source of algebra”. Bulletin of the American Mathematical Society 82 (1): 1–40. doi:10.1090/S0002-9904-1976-13928-6. https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society/volume-82/issue-1/Topology-and-logic-as-a-source-of-algebra/bams/1183537593.full. 

• MacLane, Saunders (1978). “Origins of the cohomology of groups”. L'Enseignement mathématique 24 (2): 1–29. https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001%3A1978%3A24%3A%3A9. 

• Stillwell, John (2009年). “Poincare: Papers on Topology”. 2022年5月8日閲覧。

• Riemann, B. (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen. https://www.emis.de/classics/Riemann/Grund.pdf 2022年5月6日閲覧。. 

• Riemann, B. (1857). Theorie der Abel'schen Functionen.. pp. 115–155. doi:10.1515/crll.1857.54.115. https://www.emis.de/classics/Riemann/AbelFn.pdf 2022年5月6日閲覧。. 

• Weil, André (1979). “Riemann, Betti and the Birth of Topology”. Archive for History of Exact Sciences 20 (2): 91–96. ISSN 0003-9519. JSTOR 41133540. https://www.jstor.org/stable/41133540 2022年5月6日閲覧。. 

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「ホモロジー (数学)」の例文・使い方・用例・文例

• テストは国語と算数(数学)について行われた。