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群のコホモロジー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/30 07:45 UTC 版)

数学、とくにホモロジー代数学において、群のコホモロジー（英: group cohomology）とは代数的トポロジーに由来する技法であるコホモロジー論を使って群を研究するために使われる数学的な道具立てである。群の表現のように、群のコホモロジーは群 $G$ の $G$ 加群への作用をみることで、その群の性質を明らかにする。 $G$ 加群を $G n$ の元が $n$ 単体を表す位相空間のように扱うことで、コホモロジー群 $H n (G, M)$ などの位相的な性質が計算できる。コホモロジー群は群 $G$ や $G$ 加群 $M$ の構造に関する洞察を与える。群のコホモロジーは加群や空間への群作用の固定点や群作用に関する商加群や商空間を研究において一定の役割を果たす。群のコホモロジーは群論そのものへの応用はもちろん、抽象代数・ホモロジー代数・代数的トポロジー・代数的整数論などの分野でも用いられている。代数的トポロジーには、群のホモロジーと呼ばれる双対理論がある。

脚注

注釈

^ MacLane (1976, p. 13) では右辺の最初の項が $[x 2, ..., x n +1]$ となっているが、これは誤りと思われる。

出典

^ これは $G$ 加群の圏が群環 $Z [G]$ 上の加群圏と同値なので十分多くの入射対象をもつことを使っている。
^ Milne 2008, p. 62.
^ Serre 1979, Section VII.3.
^ テンソル積 $N \otimes Z [G] M$ はどんな右 $Z [G]$ 加群 $N$ と左 $Z [G]$ 加群 $M$ に対しても定義されていることを思い出そう。もし $N$ が左 $Z [G]$ 加群ならば、すべての $g \in G$ と $a \in N$ に対して $ag = g -1 a$ と定めることで、 $N$ を右 $Z [G]$ 加群にする。この取り決めによりテンソル積 $N \otimes Z [G] M$ は $N, M$ が左 $Z [G]$ 加群のときにも定義できる。
^ Milne 2008, Remark II.1.21.
^ Brown 1982, Section III.9.
^ Quillen, Daniel. The spectrum of an equivariant cohomology ring. I. II. Ann. Math. (2) 94, 549-572, 573-602 (1971).
^ Hopf 1964, p. 13.
^ Weibel 1999, p. 10.
^ Eilenberg & MacLane 1943, p. 155.
^ MacLane 1976, pp. 11–14.
^ Eilenberg & MacLane 1945, p. 491.