群のホモロジー
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/28 16:40 UTC 版)
群のコホモロジーの構成と双対になる群のホモロジー（英: group homology）が次のように定義できる：G 加群 M が与えられたとき、DM を { gm − m │ g ∈ G, m ∈ M} から生成される部分加群とする。M に対して、いわゆるcoinvariantsと呼ばれる商 M G := M / D M {\displaystyle M_{G}:=M/DM} を与える対応は右完全関手である。その左導来関手 H n ( G , M ) {\displaystyle H_{n}(G,M)} が群のホモロジーである。M に MG を対応させる反変関手は M を Z ⊗Z[G] M に送る関手と同型である。したがってTor関手を使って群のホモロジーの表示 H n ( G , M ) = Tor n Z [ G ] ( Z , M ) {\displaystyle H_{n}(G,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)} を得ることもできる。ここでコホモロジー・ホモロジーにおける上付き・下付きの規約は群のinvariants・coinvariantsの規約と一致していることに注意せよ。つまり"co-"は コホモロジー H∗ とinvariants XG に対応する上付き ホモロジー H∗ とcoinvariants XG := X/G に対応する下付き を入れ替える。 具体的にはホモロジー群 Hn(G, M) は次のように計算できる。まず自明な Z[G] 加群 Z の射影分解 F : ⋯ → F n → F n − 1 → ⋯ → F 0 → Z → 0 {\displaystyle F:\dotsb \to F_{n}\to F_{n-1}\to \dotsb \to F_{0}\to \mathbb {Z} \to 0} からはじめる。共変関手 – ⊗Z[G] M を F の各項ごとに適用して鎖複体 F ⊗ Z [ G ] M : ⋯ → F n ⊗ Z [ G ] M → F n − 1 ⊗ Z [ G ] M → ⋯ → F 0 ⊗ Z [ G ] M → Z ⊗ Z [ G ] M {\displaystyle F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M:\dotsb \to F_{n}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to F_{n-1}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \dotsb \to F_{0}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M} を得る。Hn(G, M) はこの鎖複体のホモロジー群 Hn(F ⊗Z[G] M) である。
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