群に対して
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/06/10 14:22 UTC 版)
「クルル・シュミットの定理」の記事における「群に対して」の解説
群 G {\displaystyle G\ } に主組成列が存在すれば、 G {\displaystyle G\ } は有限個の直既約群の直積に分解される (ただし、 G {\displaystyle G\ } 自身が直既約群である場合も有り得るものとする)。 この直既約分解は順序と同型を除いて一意的である。つまり、 G = H 1 × H 2 × ⋯ × H m = K 1 × K 2 × ⋯ × K n {\displaystyle G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{m}=K_{1}\times K_{2}\times \cdots \times K_{n}} を2通りの分解とすれば、 m = n {\displaystyle m=n} であり、直既約群の組 { H i } 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle \{H_{i}\}_{1\leq i\leq m}} と { K j } 1 ≤ j ≤ m {\displaystyle \{K_{j}\}_{1\leq j\leq m}} は、適当な m {\displaystyle m\ } 次の置換 σ {\displaystyle \sigma } によって H i ≈ K σ ( i ) {\displaystyle H_{i}\approx K_{\sigma (i)}} とすることができる。
※この「群に対して」の解説は、「クルル・シュミットの定理」の解説の一部です。
「群に対して」を含む「クルル・シュミットの定理」の記事については、「クルル・シュミットの定理」の概要を参照ください。
群に対して
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/08 06:22 UTC 版)
群 G の元 g は、有限位数を持つとき、つまり、正の整数が存在し、gm = e となるようなとき、群の捩れ元 (torsion element) と呼ぶ。ここで e は群の単位元を、 gm は m 個の g のコピーの積を表す。群は、すべての元が捩れ元であるとき、捩れ群 (torsion group)、あるいは周期群 (periodic group) といい、捩れ元が単位元のみ場合を捩れのない群 (torsion-free group) という。アーベル群 A の捩れ元全体 T は部分群をなし、捩れ部分群 (torsion-subgroup) と呼ばれる。このとき A/T は捩れのない群である。
※この「群に対して」の解説は、「捩れ (代数学)」の解説の一部です。
「群に対して」を含む「捩れ (代数学)」の記事については、「捩れ (代数学)」の概要を参照ください。
群に対して
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/08 06:22 UTC 版)
任意の有限群は周期的で有限生成である。バーンサイド問題（英語版）は、逆に、任意の有限生成の周期群は必ず有限であるかという問題である。（答えは、たとえ周期が固定されていても、一般には否定的である。） 行列式が 1 の 2×2 整数行列の群 SL(2, Z) を中心で割ったモジュラー群 Γ において、任意の非自明な捩れ元は、位数 2 で元 S に共役であるか、あるいは、位数 3 で元 ST に共役であるかのいずれかである。この場合、捩れ元全体は部分群をなさない。例えば、S・ST = T であるが、この位数は無限大である。 mod 1 での有理数からなるアーベル群 Q/Z は周期的である。類似して、一変数多項式環 R = K[t] 上の加群 K(t)/K[t] は pure torsion である。これらの例を次のように一般化することができる。R が可換整域で Q がその分数体であれば、Q/R は捩れ R-加群である。 加法群 R/Z の捩れ部分群は Q/Z であり、一方、加法群 R や Z は捩れがない。捩れのないアーベル群（英語版）の部分群による商が捩れなしであるのは、ちょうど、その部分群がpure subgroup（英語版）であるときである。
※この「群に対して」の解説は、「捩れ (代数学)」の解説の一部です。
「群に対して」を含む「捩れ (代数学)」の記事については、「捩れ (代数学)」の概要を参照ください。
- 群に対してのページへのリンク
