加群に対して
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/06/10 14:22 UTC 版)
「クルル・シュミットの定理」の記事における「加群に対して」の解説
加群 V が V = V1 ⊕ … ⊕ Vn = W1 ⊕ … ⊕ Wm と直既約分解されており、かつ各 Viの自己準同型環が局所環であるとき、次が成り立つ。 n = m 置換 σ ∈ Sn が存在して、以下の条件を満たすVi ≅ Wσ(i) 任意の 1 ≤ r < n に対して V = Wσ(1) ⊕ … ⊕ Wσ(r) ⊕ Vr+1 ⊕ … ⊕ Vn しばしば最後の主張は言及されない。
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加群に対して
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/08 06:22 UTC 版)
環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元 r が存在して、m を零化する、すなわち r m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という。加群 M の捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。 環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が M の部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 R が整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環（英語版）であることと、t(M) がすべての右 R 加群に対して M の部分加群であることとは同値である。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。 より一般的に、M を環 R 上の加群とし、S を R の積閉集合とする。このとき標準的な写像 M → MS の核を tS(M) と表す。tS(M) = M のとき、つまり M のすべての元 m は、S のある元 s によって零化されるとき、M は S-捩れ (S-torsion) と呼ばれる。また tS(M) = 0 のとき、M はS-捻れなし (S-torsionless) という。特に、S を環 R の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。
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加群に対して
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/08 06:22 UTC 版)
M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。 有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。
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加群に対して
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 14:45 UTC 版)
「加群の長さ」も参照 自然に現れる多くの加群は、上記の必ずしも可換ではない群の場合と同様に、必ずしも完全可約群（半単純加群）ではなく、単純加群の直和に分解できないため、その構造を考える上で組成列は重要な情報を与える手段である。 加群 M の組成列は、となりあった加群の商が単純であるような、部分加群による M の増大する有限のフィルターであり、M の単純部分加群による直和分解の代わりの役割を果たす。ジョルダン・ヘルダーの定理による組成列の一意性は、有限群やアルティン加群の不変量を定義するのに使える。 加群に対する組成列の定義は部分加群のみに着目し、部分加群でない部分加法群は無視する。環 R と R-加群 M が与えられたとき、M の組成列とは部分加群の列 M = M n ⊋ ⋯ ⊋ M 0 = 0 {\displaystyle M=M_{n}\supsetneq \dotsb \supsetneq M_{0}=0} であり、各 1 ≤ i ≤ n に対し Mi−1 が Mi の極大部分加群であるものである。この場合、（単純）商加群 (Mi/Mi−1)1≤i≤n は M の組成因子と呼ばれる。もし M が組成列をもちさえすれば、M の部分加群の任意の有限真増大列は組成列に細分できる。群のときと同様に、ジョルダン・ヘルダーの定理が成り立ち、M の任意の組成列は同値である。つまり、組成列の長さは等しく、組成因子も順序と同型の違いを除いて等しい。 加群が有限の組成列をもつこととアルティン加群かつネーター加群であることが同値であることはよく知られている。R がアルティン環であれば、任意の有限生成 R-加群はアルティン的かつネーター的なので、有限の組成列をもつ。とくに、任意の体 K に対し、K 上の有限次元多元環上の任意の有限次元加群は同値の違いを除いて組成列を1つもつ。
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