主イデアル整域の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/08 06:22 UTC 版)
「捩れ (代数学)」の記事における「主イデアル整域の場合」の解説
R を（可換）主イデアル整域とし、M を有限生成 R-加群とすると、主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は、同型を除き加群 M の詳細な記述を与える。特に、この定理は、 M ≃ F ⊕ t ( M ) , {\displaystyle M\simeq F\oplus t(M),} であることを言っている。ここに F は（M のみに依存する）有限な階数の自由 R-加群であり、 t(M) は M の捩れ部分加群である。系として、有限生成で捩れのない R 上の任意の加群は自由である。この系はより一般の可換整域に対しては成り立たず、2変数多項式環 R = K[x, y] に対してさえ成り立たない。有限生成でない加群に対しては、上の直和分解は正しくない。アーベル群の捩れ部分群はその直和因子になるとは限らない。
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