主イデアル環とは? わかりやすく解説

単項イデアル環

(主イデアル環 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/06/22 15:00 UTC 版)

数学において、単項右(左)イデアル環主右(左)イデアル環 (principal right (left) ideal ring) は環 R であってすべての右(左)イデアルがある xR に対して xR (Rx) の形であるようなものである。(1つの元で生成されたこの形の右と左のイデアルは単項イデアルである。)これが左と右のイデアル両方に対して満たされるとき、例えば R可換環のような場合、R単項イデアル環主イデアル環 (principal ideal ring) あるいはシンプルに 単項環主環 (principal ring) と呼ぶことができる。




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主イデアル環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/01/11 14:00 UTC 版)

環 (数学)」の記事における「主イデアル環」の解説

詳細は「主イデアル整域」および「主イデアル環」を参照 環は整数全体とよく似た構造を示す代数系だが、一般の環を考えたのではその環論性質は必ずしも近いものとはならない整数に近い性質を持つ環として、環の任意のイデアル単独の元で生成されるという性質を持つもの、すなわち主イデアル環を考えよう。 環 R が右主イデアル環 (PIR) であるとは、R の任意の右イデアルa R = { a r ∣ r ∈ R } {\displaystyle aR=\{ar\mid r\in R\}} の形に表されることをいう。また主イデアル整域 (PID) とは整域でもあるような主イデアル環をいう。 環が主イデアル整域であるという条件は、環に対するほかの一般的な条件よりもいくぶん強い制約条件である。例えば、R が一意分解整域 (UFD) ならば R 上の多項式環UFD となるが、R が主イデアル環の場合同様の主張一般に正しくない整数環 Z は主イデアル環の簡単な例だが、Z 上の多項式環は R = Z[X] は PIR でない(実際 I = 2R + XR は単項生成でない)。このような反例があるにもかかわらず任意の上の一変数多項式環は主イデアル整域となる(実はさらに強くユークリッド整域になる)。より一般に一変数多項式環が PID となるための必要十分条件は、その多項式環が体上定義されていることである。 PIR 上の多項式環のことに加えて、主イデアル環は、可除性に関して有理整数環との関係を考えても、いろいろと興味深い性質有することがわかる。つまり、主イデアル整域可除性に関して整数環同様に振舞のである例えば、任意の PIDUFD である、すなわち算術の基本定理の対応物が任意の PID成立する。さらに言えばネーター環というのは任意のイデアル有限生成となるような環のことだから主イデアル整域明らかにネーター環である。PID においては既約元概念素元概念一致するという事実と、任意の PIDネーター環であるという事実とを合わせると、任意の PIDUFD となることが示せる。PID においては任意の二元最大公約元について延べることができる。すなわち、x, y が主イデアル整域 R の元であるとき、xR + yR = cR左辺は再びイデアルとなるから、それを生成する元 c がある)とすれば、この c が x と y の GCD である。 体と PID との間にあるよう重要な環のクラスとして、ユークリッド整域がある。特に、任意の体はユークリッド整域であり、任意のユークリッド整域PID である。ユークリッド整域イデアルは、そのイデアル属す次数最小の元で生成される。しかし、任意の PIDユークリッド整域となるわけではない。よく用いられる反例として Z [ 1 + − 19 2 ] {\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]} が挙げられる

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