関連する定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 07:55 UTC 版)
詳細は「重根 (多項式)」および「分解体」を参照 多項式 X – α がモニック であるという単純な事実により—A が整域でなくとも—以下の概念が定義できる: 定義 (根の重複度, 重根) 非零多項式 P と任意の α ∈ A に対しP(X) を (X – α)m が割り切るような最大の整数 m を P に関する α の位数または重複度と呼ぶ。 この整数 m は P(X) = (X – α)mQ(X) かつ Q(α) ≠ 0 なる多項式 Q の存在によって特徴付けられる。 m = 1 となるとき α を P の単根と言い、m > 1 のとき重根という。 多項式 X2 – 2 は分離多項式（つまり重根を持たない）であり、以下に述べる意味で ℝ において分解する: 定義 (多項式の分解) 多項式 P が体 L に係数を持つ一次式の積に表されるとき、多項式 P は L において分解すると言う。 このとき最高次係数もこれら一次式の最高次係数に因数分解できるから、したがって分解の定義を「L[X] において P が定数と一次のモニック多項式からなる積に表されるとき」と言っても同じことである。このような分解は一意である: これら一次モニック多項式の各定数項は P の L における根の反数に等しく、またその根の位数が m ならその一次因子は m 回繰り返し現れる。したがって、それら因子の数は P の次数に等しい。
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関連する定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/01/18 14:05 UTC 版)
全てのイデアルが主イデアルであるような環を、主イデアル環 (principal ideal ring) と言う。主イデアル整域 (PID) とは、全てのイデアルが主イデアルとなるような整域を言う。任意の主イデアル整域は一意分解整域 (UFD) であり、整数における一意分解（いわゆる、算術の基本定理）の普通の証明が任意の主イデアル整域で成り立つ。
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