反数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/02 01:50 UTC 版)
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反数（はんすう、英: opposite）とは、ある数に対し、足すと 0 になる数である。つまり、ある数 a に対して、
- a + b = b + a = 0
となるような数 b を a の反数といい、−a と表す。記号「−」を負号と呼び、「マイナス a」と読む。また、a は b の反数であるともいえる。0 は加法における単位元であるから、反数は加法における逆元である。このような加法における逆元は加法逆元（かほうぎゃくげん、英: additive inverse）と呼ばれる。
ある数にある数の反数を足すことを「引く」といい、減法 a − b を以下のように定義する。
- a − b ≔ a + (−b).
「a 引く b」(b is subtracted from a) または「a マイナス b」(a minus b) と読む。反数に使われる「−」（負号）と引き算に使われる「−」（減算記号）をあわせて「マイナス記号」と呼ぶ。 また、反数を与える − は単項演算子と見なすことができ、単項マイナス演算子 (unary minus operator) と呼ばれる。一方、減算を表す演算子としての − は、項を 2 つとるの二項演算子なので、二項マイナス演算子 (binary minus operator) と呼ばれる。
乗法において反数に相当するものは逆数、あるいはより一般には乗法逆元 (multiplicative inverse) と呼ばれる。整数、有理数、実数、複素数においては、逆数は必ずしも存在しないが、反数は必ず存在する。ただし、0 を含まない自然数においては反数は常に存在しない。
反数の概念はそのままベクトルに拡張することができ、反ベクトル（はんベクトル、英: opposite vector）と呼ばれる。ベクトルの加法における単位元はゼロ・ベクトルであり、あるベクトル v に足すと 0 を与えるベクトル w を v の反ベクトルという。
- v + w = 0.
これを満たすベクトル w は −v と表される。またこのとき v は w の反ベクトル −w でもある。
性質
- ある数とその反数を足すと 0 になる: a + (−a) = 0.
- ある数の反数の反数は、元の数である: −(−a) = a.
- 0 からある数を引いた結果はその数の反数を与える: 0 − a = −a.
- 0 の反数は、0 である: −0 = 0.
- 元の数と反数が等しいのは 0 のみである: a = −a ならば a = 0.
- ある数に −1 を掛けた結果はその数の反数を与える: a × (−1) = (−1) × a = −a.
- 和の反数は反数の和に等しい: −(a + b) = (−a) + (−b).
例
- 整数 3 の反数は −3 である。
- 小数 5.6 の反数は −5.6 である。
- 分数 2/3 の反数は −2/3 である。これはまた、−2/3 や 2/−3 に等しい。
- 複素数 1 + 7i の反数は −1 − 7i である（i は虚数単位と呼ばれ、i2 = −1 を満たす）。
関連項目
反数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/15 10:26 UTC 版)
集合 S の反数集合 −S を、その元の反数全体の成す集合 −S := {−s : x ∈ S} とすれば、与えられた超現実数の「形式」 x := {XL | XR} に対してその反数は − x = − { X L ∣ X R } := { − X R ∣ − X L } {\displaystyle -x=-\{X_{L}\mid X_{R}\}:=\{-X_{R}\mid -X_{L}\}} で与えられる。 この定義式の中には、x の左集合や右集合に現れる超現実「数」の反数も現れるが、これはそれら数の代表元となる形式を選んで形式に対する符号反転をとって得られた形式の属する同値類をとったものという意味である。ただし、この定義が意味を持つためには、結果として得られる数が被演算子となる形式のとりかたに依存しないことを示す必要がある。そのことは、XL, XR に現れる全ての数が、x が初めて現れるよりも前の世代において生じるものであるという事実を用いれば、その特別の場合として −0 = −{ | } := { | } = 0 は確定であることと合わせて帰納的に示される。
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