一意分解整域とは? わかりやすく解説

一意分解環

(一意分解整域 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/02/11 00:13 UTC 版)

数学における一意分解環(いちいぶんかいかん、: unique factorization domain, UFD; 一意分解整域)あるいは素元分解環(そげんぶんかいかん)は、大雑把に言えば整数に対する算術の基本定理の如くに(特別の例外を除く)各元が素元(あるいは既約元)の積に一意に表せる可換環のことである。ブルバキの語法に従ってしばしば分解環 (anneau factriel) とも呼ばれる。

環のクラスの中で、一意分解環は以下のような包含関係に位置するものである。

可換環整域整閉整域一意分解環単項イデアル整域ユークリッド環有限体

一意分解環の概念は非可換環に対して拡張できる[1][注 1]

定義

厳密には、整域 R零元でも単元でもない元 x が何れも

x = p1 p2pn

のように R の有限個の既約元の積として書くことができて、その表示が一意であるとき R一意分解環であるという。ここで表示が一意であるとは、xR の既約元 q1, …, qm によって再び

x = q1 q2qm,

のようにも表せたとするならば、m = n であって、番号の適当な並べ替えを行う全単射 φ: {1, …, n} → {1, …, m} を与えると、piqφ(i) とが i = 1, …, n のそれぞれについて同伴 (associated) となるようにできるということを意味する。

一意性の部分の検証は一般には困難であることがしばしばであって、次の同値な条件への言い換えは有用である:整域が一意分解環となるのは、その零元でも単元でもない任意の元が R素元の積の形に書けるときである。

一意分解環の例

初等的な数学で目にする環の多くが UFD である:

  • 単項イデアル整域 (PID), したがって任意のユークリッド環は UFD である。特に、有理整数Z算術の基本定理を参照)、ガウス整数Z[i]アイゼンシュタイン整数Z[ω] もこの仲間である。
  • は零元でない任意の元が単元となる環であるので、自明な意味で UFD である。有理数体、実数体、複素数体などがこの範疇に含まれる。
  • R が一意分解環なら、R に係数を持つ多項式環 R[x] もまた UFD である。この特別の場合として、係数環が体 K である場合の多項式環 K[x] も(K[x] は単項イデアル整域 (PID) となるので最初の例の特別の場合でもあるが)もちろん UFD になる。

もう少し一般に、以下のような例を与えることができる:

  • 形式的冪級数K[[X1, …, Xn]] は、K が体(あるいはもっと一般に主イデアル整域)ならば UFD である(K が UFD であっても、冪級数環が必ずしも UFD とならないことに注意)。
  • 決まった数の複素変数を持つ、原点で正則な函数全体の成す環は UFD である。
  • 一変数多項式環の場合から帰納的に、有理整数環 Z【あるいは、体 K】 上の多変数多項式環 Z[X1, …, Xn]【あるいは K[X1, …, Xn] 】は UFD となることが分かる。多変数の多項式環は PID ではない UFD の簡単な例である。

分解が一意とならない例

  • a, b を整数として

一意分解整域

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/01/11 14:00 UTC 版)

環 (数学)」の記事における「一意分解整域」の解説

詳細は「一意分解環」を参照 一意分解整域 (UFD) の理論環論では重要である。実質的に算術の基本定理類似満たす環が一意分解環ということになる。 環 R が一意分解整域であるとは R は整域である。 R の零元でも単元でもない元は、有限個の既約元の積に書ける。 各 ai および bj を R の既約元として ∏ i = 1 n a i {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}} = ∏ j = 1 m b j {\displaystyle \prod _{j=1}^{m}b_{j}} と書けるならば n = m かつ、適当な番号付け替えによって、bi = aiui が全ての i について成立させることができる。ただし、ui は R の適当な単元である。 2番目の条件は R の「非自明」な元の既約元への分解保証するものであり、3番目の条件によってそのような分解は「単元掛ける違いを除いて一意的である。一意性について、単元掛けてもよいという弱い形を採用するのは、そうしない有理整数環 Z が UFD とならないからというのが理由ひとつとしてある(単元掛けてはいけないとすると (−2)2 = 22 = 4 は 4 の「相異なる二つ分解与えるが、−1 と 1 は Z の単元だから、二つ分解同値になる)。ゆえに、整数環 Z が UFD となるというのは、自然数についての(本来の)算術の基本定理からの簡単な帰結である。 任意のに対して素元および既約元定義することはできるが、この二つ概念一般に一致しない。しかし、整域において素元は必ず既約である。逆は、UFD については正しい。 一意分解整域と他の環のクラスとの関係としては、たとえば任意のネーター環先ほど条件の1番目と2番目を満足するが、一般に3番目の条件満足しない。しかし、ネーター環において素元全体既約元全体集合として一致するならば、3番目の条件成り立つ。特に主イデアル整域UFD である。

※この「一意分解整域」の解説は、「環 (数学)」の解説の一部です。
「一意分解整域」を含む「環 (数学)」の記事については、「環 (数学)」の概要を参照ください。

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