一意分解環とは？わかりやすく解説

数学における一意分解環（いちいぶんかいかん、英: unique factorization domain, UFD; 一意分解整域）あるいは素元分解環（そげんぶんかいかん）は、大雑把に言えば整数に対する算術の基本定理の如くに（特別の例外を除く）各元が素元（あるいは既約元）の積に一意に表せる可換環のことである。ブルバキの語法に従ってしばしば分解環 (anneau factriel) とも呼ばれる。

環のクラスの中で、一意分解環は以下のような包含関係に位置するものである。

可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 単項イデアル整域 ⊃ ユークリッド環 ⊃ 体 ⊃ 有限体

一意分解環の概念は非可換環に対して拡張できる^[1]^{[注 1]}。

定義

厳密には、整域 $R$ の零元でも単元でもない元 $x$ が何れも

x = p 1 p 2 \dots p n

のように $R$ の有限個の既約元の積として書くことができて、その表示が一意であるとき $R$ は一意分解環であるという。ここで表示が一意であるとは、 $x$ が $R$ の既約元 $q 1, \dots, q m$ によって再び

x = q 1 q 2 \dots q m

,

のようにも表せたとするならば、 $m = n$ であって、番号の適当な並べ替えを行う全単射 $φ : {1, \dots, n} \to {1, \dots, m$ } を与えると、 $p i$ と $q φ (i)$ とが $i = 1, \dots, n$ のそれぞれについて同伴 (associated) となるようにできるということを意味する。

一意性の部分の検証は一般には困難であることがしばしばであって、次の同値な条件への言い換えは有用である：整域が一意分解環となるのは、その零元でも単元でもない任意の元が $R$ の素元の積の形に書けるときである。

一意分解環の例

初等的な数学で目にする環の多くが UFD である：

単項イデアル整域 (PID), したがって任意のユークリッド環は UFD である。特に、有理整数環 $Z$ （算術の基本定理を参照）、ガウス整数環 $Z [i]$ やアイゼンシュタイン整数環 $Z [ω]$ もこの仲間である。
体は零元でない任意の元が単元となる環であるので、自明な意味で UFD である。有理数体、実数体、複素数体などがこの範疇に含まれる。
$R$ が一意分解環なら、 $R$ に係数を持つ多項式環 $R [x]$ もまた UFD である。この特別の場合として、係数環が体 $K$ である場合の多項式環 $K [x]$ も（ $K [x]$ は単項イデアル整域 (PID) となるので最初の例の特別の場合でもあるが）もちろん UFD になる。

もう少し一般に、以下のような例を与えることができる：

形式的冪級数環 $K [[X 1, \dots, X n]]$ は、 $K$ が体（あるいはもっと一般に主イデアル整域）ならば UFD である（ $K$ が UFD であっても、冪級数環が必ずしも UFD とならないことに注意）。
決まった数の複素変数を持つ、原点で正則な函数全体の成す環は UFD である。
一変数多項式環の場合から帰納的に、有理整数環 $Z$ 【あるいは、体 $K$ 】上の多変数多項式環 $Z [X 1, \dots, X n]$ 【あるいは $K [X 1, \dots, X n]$ 】は UFD となることが分かる。多変数の多項式環は PID ではない UFD の簡単な例である。

分解が一意とならない例

a, b を整数として $a+b{\sqrt {-5}}$
- ドイツ

[1]

[注 1]

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