結果の要約
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/22 09:36 UTC 版)
以下の性質に関して、R は可換環で S := R[X1, …, Xn] は R 上の n-変数多項式環とする。環の拡大 R ⊂ S は順番に X1, …, Xn を添加していくことにより R から n-段階で得られる。ゆえに以下の性質のどれも、証明は n = 1 の場合のみを考えれば十分である。 R が整域ならば S もそうである。 R が一意分解環ならば S もそうである。このことの証明は（多項式に関する）ガウスの補題による。 ヒルベルトの基底定理: R がネーター環ならば S もそうである。 R が大域次元有限なネーター環ならば gl . dim R [ X 1 , … , X n ] = gl . dim R + n {\displaystyle \operatorname {gl} .\dim R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]=\operatorname {gl} .\dim R+n} である。クルル次元に対して類似の結果がある。
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