類似の結果
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/06 18:54 UTC 版)
「ボレル・カンテリの補題」の記事における「類似の結果」の解説
また別の関連する結果（いわゆる counterpart of the Borel–Cantelli lemma）がある。ここで類似（counterpart）というのは、 ( A n ) {\displaystyle (A_{n})} に課す仮定を「独立性」から全く別のものに取り換えて、limsup が1になるための必要十分条件を与えるという意味でである。 事象列 ( A n ) {\displaystyle (A_{n})} が A k ⊆ A k + 1 {\displaystyle A_{k}\subseteq A_{k+1}} を満たすとし、 A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} で A {\displaystyle A} の余事象を表す。 このとき、事象 A k {\displaystyle A_{k}} が無限に多くの回数起こる（つまり、少なくともどれかが起こる）確率が 1 であるための必要十分条件は、真に増大する正整数列 ( t k ) {\displaystyle (t_{k})} であって ∑ k Pr ( A t k + 1 ∣ A ¯ t k ) = ∞ {\displaystyle \sum _{k}\Pr(A_{t_{k+1}}\mid {\bar {A}}_{t_{k}})=\infty } が成り立つようなものが存在することである。 このシンプルな結果は例えば、確率過程で時刻の部分集合 ( t k ) {\displaystyle (t_{k})} を選んだときの到達確率（hitting probability）を論じるのに有用である（この場合普通、 ( t k ) {\displaystyle (t_{k})} の選び方が本質的に重要になる）。
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