ボレル・カンテリの補題

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ボレル・カンテリの補題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/06 18:54 UTC 版)

確率論におけるボレル・カンテリの補題（ボレル・カンテリのほだい、英: Borel–Cantelli lemma）は、事象の列に関する命題である。一般的に見れば測度論の結果の一つ。名称は20世紀初頭にこの補題の記述を行ったエミール・ボレルとフランチェスコ・パオロ・カンテリにちなむ。これと関連した、ボレル・カンテリの第二補題と呼ばれることもある命題は、（完全に対称的ではないが）ボレル・カンテリの補題（第一補題）と帰結が反対になる。これらの補題はある種の条件下で事象の確率が0か1かのどちらかであることを述べており、0-1法則として知られる一連の定理の中で最も著名なものとなっている。0-1法則にはこの他にコルモゴロフの0-1法則やヒューイット・サヴェッジの0-1法則がある。

確率空間における主張

E₁,E₂,... を、ある確率空間の事象の列とする。 このとき

もしの確率 P(E_n) の和が有限であれば、これらの事象が無限に多くの回数起こるような確率は 0 である。

$\sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty \Rightarrow \Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0$

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参考文献

• Prokhorov, A.V. (2001), “Borel–Cantelli lemma”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/B/b017040.htm 
• Feller, William (1961), An Introduction to Probability Theory and Its Application, John Wiley & Sons .
• Stein, Elias (1993), Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press .
• Bruss, F. Thomas (1980), “A counterpart of the Borel Cantelli Lemma”, J. Appl. Probab. 17: 1094–1101 .
• Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.

外部リンク

• Planet Math Proof 補題の簡単な証明。