一意分解環の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/17 07:12 UTC 版)
初等的な数学で目にする環の多くが UFD である： 主イデアル整域 (PID), したがって任意のユークリッド環は UFD である。特に、有理整数環 Z（算術の基本定理を見よ）、ガウス整数環 Z[i] やアイゼンシュタイン整数環 Z[ω] もこの仲間である。 体は零元でない任意の元が単元となる環であるので、自明な意味で UFD である。有理数体、実数体、複素数体などがこの範疇に含まれる。 R が一意分解環なら、R に係数を持つ多項式環 R[x] もまた UFD である。この特別の場合として、係数環が体 K である場合の多項式環 K[x] も（K[x] は単項イデアル整域となるので最初の例の特別の場合でもあるが）もちろん UFD になる。 もう少し一般に、以下のような例を与えることができる： 形式冪級数環 K[[X1, ..., Xn]] は、K が体（あるいはもっと一般に主イデアル整域）ならば UFD である（K が UFD であっても、冪級数環が必ずしも UFD とならないことに注意）。 決まった数の複素変数を持つ、原点で正則な函数全体の成す環は UFD である。 一変数多項式環の場合から帰納的に、（整数環 Z あるいは体 K 上の）多変数多項式環 Z[X1, ..., Xn], K[X1, ..., Xn] は UFD となることがわかる。多変数の多項式環は PID ではないような UFD の簡単な例である。
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