半単純環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:31 UTC 版)
数学、特に代数学において、環 A が A-加群として半単純加群、すなわち、非自明な部分加群をもたない A-加群の直和であるとき、A を半単純環という。これは、同型の違いを除いて、（可換とは限らない）体上の全行列環の有限個の直積である。
- ^ a b 環が左アルティン的であるとは、A の左イデアルの任意の降鎖列が停留的であることをいう。
- ^ 注意。任意の単純加群は半単純であるが、単純環は半単純であるとは限らない。
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- ^ Erdmann, Karin; Holm, Thorsten (2018). Algebras and Representation Theory. Springer. p. 93 (Proposition 4.14). ISBN 978-3-319-91997-3
- ^ a b ジャコブソン根基が0である環を半原始環という。
- ^ その他の同値な条件は、例えば Louis H. Rowen Ring Theory Volume I p. 496 を参照
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半単純環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/02 17:14 UTC 版)
詳細は「半単純環」を参照 （可換とは限らない）単位的環上の加群が半単純（あるいは完全可約）であるとは、単純（既約）部分加群の直和であるということである。 環が（左）半単純であるとは、自身の上の左加群として半単純であることをいう。驚くべきことに、左半単純環は右半単純環でもあり、逆もまた然り。それゆえ左右の区別は不要である。
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半単純環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/05/29 04:17 UTC 版)
詳細は「半単純環」を参照 環が（左）半単純であるとは、それがそれ自身の上の左加群として半単純であることをいう。驚くべきことに、左半単純環は右半単純でもあり、逆も同様である。左右の区別はしたがって不要であり、半単純環についてあいまいさなく話すことができる。 半単純環はホモロジー代数の言葉で特徴づけることができる。すなわち、環 R が半単純であることと左（または右）R-加群の任意の短完全列が分裂することは同値である。とくに、半単純環上の任意の加群は移入加群かつ射影加群である。射影加群は平坦加群なので、半単純環はフォン・ノイマン正則環である。 半単純環は代数学者にとってかなり興味深い。例えば、環 R が半単純であれば、すべての R-加群は自動的に半単純である。さらに、すべての単純（左）R-加群は R の極小左イデアルに同型である。すなわち、R は左Kasch環である。 半単純環はアルティン環かつネーター環である。上記の性質から、環が半単純であることとアルティン環でありジャコブソン根基が 0 であることは同値である。 アルティン的半単純環が体を含めば、半単純多元環と呼ばれる。
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