半単純環の分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:31 UTC 版)
A を半単純環とする。 すると A の極小両側イデアル（A の両側イデアルの集合の包含関係による極小元）の集合は有限である。I1, ..., Ip をその両側イデアルとする。各 Ik は誘導された積について単純アルティン的（ゆえ単位的）環である。Ik から A へのカノニカルな単射を拡張した、I1 × ... × Ip から A への一意的な群準同型が存在し、これは環同型である。 したがって環 A は単純アルティン環の有限個の直積に同型であり、この表示は因子の積の順序の違いを除いて一意的である。この因子は極小両側イデアルであり、A の単純成分（仏: composant simple）と呼ばれる。 環が半単純であるためには、単純アルティン環の有限個の直積環と同型であることが必要十分である。 半単純環の中心は各単純成分の中心の直積環と同型であり、可換体の有限個の直積環と同型である。実は、可換な半単純環は可換体の有限個の直積と同型な環に他ならない。
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