非可換環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/13 16:24 UTC 版)
数学、特に現代代数学と環論において、非可換環（ひかかんかん、英: noncommutative ring）とは乗法が可換ではない環である。つまり、a•b ≠ b•a なる R の元 a, b が存在する。非可換環論 (noncommutative algebra) は可換とは限らない環に適用できる結果の研究であるが、この分野の多くの重要な結果は特別な場合として可換環にも適用できる[1]。
- ^ Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6
- ^ この記事において環は 1 を持つ。
- ^ Shult, Ernest E. (2011). Points and lines. Characterizing the classical geometries. Universitext. Berlin: Springer-Verlag. p. 123. ISBN 978-3-642-15626-7. Zbl 1213.51001
- ^ 半単純環は必ずアルティン環である。著者によっては「半単純」を環が自明なジャコブソン根基をもつことを意味するために使う。アルティン環に対しては、2つの概念は同値なので、"アルティン"はあいまいさを排除するためにここに含められている。
- ^ John A. Beachy (1999). Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge University Press. p. 156. ISBN 978-0-521-64407-5
- ^ Isaacs, p. 184
- ^ そのような線型変換の環は full linear ring（全線型変換環、全自己準同型環）とも呼ばれる。
- ^ Isaacs, Corollary 13.16, p. 187
- ^ Jacobson, Nathan "Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions"
- ^ Isaacs, Theorem 13.14, p. 185
- ^ Nagata 1962, §A2
- ^ Isaacs 1993, p. 182
- ^ Isaacs 1993, p. 183
- ^ Isaacs 1993, Theorem 12.19, p. 172
- ^ a b Isaacs 1993, Theorem 13.11, p. 183
- ^ Cohn, P. M. (1991). “Chap. 9.1”. Algebra. Vol. 3 (2nd ed.). pp. 351
非可換環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/15 08:14 UTC 版)
「主イデアルに関する昇鎖条件」の記事における「非可換環」の解説
非可換の場合には、右 ACCP と左 ACCP を区別する必要が出てくる。前者は xR の形のイデアルの半順序集合が昇鎖条件を満たすということを要求するだけであり、後者は Rx の形のイデアルの半順序集合を検査するだけである。 今は "Bass' Theorem P" と呼ばれている、(Bass 1960) にある Hyman Bass（英語版） による定理は、環 R の主左イデアルについての降鎖条件は R が右完全環であることと同値であることを示した。D. Jonah は (Jonah 1970) において ACCP と完全環の間に side-switching connection が存在することを示した。R が右完全（右 DCCP を満たす）ならば R は左 ACCP を満たすことと、対称的に、R が左完全（左 DCCP を満たす）ならば右 ACCP を満たすことが示された。逆は正しくなく、上の左と右の切り替えは打ち間違いではない。 ACCP が R の右側について成り立とうと左側について成り立とうと、それは R が 0 でない直交冪等元の無限集合を持たないことと R がデデキント有限環であることを意味する。
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非可換環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/05/24 04:35 UTC 版)
「環の根基」を参照 非可換環に対して、冪零根基のいくつかの類似物がある。lower nilradical (または Baer–McCoy radical, または prime radical) は零イデアルの根基の類似物で、環の素イデアルの共通部分として定義される。すべての冪零元の集合の類似物は upper nilradical で、環のすべての nil ideal によって生成されるイデアルとして定義され、それ自身 nil ideal である。すべての冪零元の集合それ自身はイデアル（それどころか部分群）である必要はない。なので、upper nilradical はこの集合よりはるかに小さいこともありうる。Levitzki 根基はこの間にあり最大の局所冪零イデアルとして定義される。可換の場合のように、環がアルティン的なときは、Levitzki 根基は冪零であり、それゆえ唯一の最大の冪零イデアルである。実際、環がネーター的でありさえすれば、lower, upper, and Levitzki radical は冪零であり一致し、任意のネーター環の冪零根基をその環の唯一の最大（左、右、または両側）冪零イデアルとして定義することができる。
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非可換環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/17 03:17 UTC 版)
可換とは限らない環は、大域次元が有限で、polynomial growth をもっていて（GK次元（英語版）が有限で）、ゴレンシュタイン環であるときに、正則と呼ばれる。 楕円代数（英語版） も参照のこと。
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