極大イデアル
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/10 00:44 UTC 版)
環 R の極大左イデアル（きょくだいひだりいである、英: maximal left ideal）とは、R 以外の左イデアルの中で（集合の包含関係に関して）極大なもののことである。すなわち、左イデアル I を真に含む左イデアルが R しかないときに I を R の極大左イデアルという。極大右イデアルおよび極大両側イデアルも同様に定義される。これらのイデアルは（環が 0 でなく単位元をもつとき）ツォルンの補題によって存在が保証される[注釈 1]。可換環においては、左・右・両側の区別はない。唯一の極大左イデアルをもつ環は局所環と呼ばれる。
注釈
出典
- ^ a b van der Waerden 2003, 3.6 Divisibility. Prime ideals.
- ^ 岩永 & 佐藤 2002.
- ^ Mumford's treasure map
- ^ Anderson & Fuller 1992.
[続きの解説]
「極大イデアル」の続きの解説一覧
- 1 極大イデアルとは
- 2 極大イデアルの概要
- 3 脚注
極大部分加群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/12 06:02 UTC 版)
環 R 上の加群 M の真の部分加群のうち極大なものを極大部分加群という。つまり、M の部分加群 N が極大部分加群であるとは、M ≠ N であり、かつ、 N ⊊ K ⊊ M {\displaystyle N\varsubsetneq K\varsubsetneq M} となる部分加群 K が存在しないことである。極大イデアルは正則加群 R の極大部分加群に他ならない。 極大部分加群は存在するとは限らないが、例えば0でない有限生成加群であれば存在する。
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