非可換多項式

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自由代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/30 02:43 UTC 版)

この項目では、環論における自由代数について説明しています。普遍代数学におけるより一般の自由な代数系については「自由対象（英語版）」をご覧ください。

数学、とくに環論という抽象代数学の分野において、自由代数（じゆうだいすう、英: free algebra）は多項式環の非可換類似である、なぜならばその元は可換でない変数の「多項式」として書けるからである。同様に、多項式環は自由可換代数 (free commutative algebra) と見ることができる（多項式環#多項式環の普遍性参照）。

定義

可換環 R に対し、n 不定元 {X₁, ..., X_n} 上の自由（結合的単位的）代数とは、アルファベット {X₁, ..., X_n} 上のすべての語（空な語を含み、これは自由代数の単位元である）からなる基底を持つ自由 R 加群である。この R 加群は積を以下のように定義して R 代数となる：2つの基底元の積は対応する語の結合

${\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{n}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{n}},}$

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2023年12月）

• Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 137. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007 
• L.A. Bokut' (2001), “Free associative algebra”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Free_associative_algebra 

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非可換多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/04 06:28 UTC 版)

「多項式」の記事における「非可換多項式」の解説

詳細は「自由多元環」を参照 通常の多変数多項式環は、変数と係数および変数同士の可換性が仮定されている。この変数の間の可換性を仮定からはずすことで、非可換多項式環が定義される。可換性をはずしたために、非可換多項式を一般に書き表すのは困難であるが、非可換多項式環はテンソル代数として記述することができる。X = {x1, x2, ..., xn}を基底とする有限次元 K ベクトル空間あるいは可換環 K 上の階数有限な自由加群 V 上のテンソル代数 T(V) を T ( V ) =: K ⟨ x 1 , x 2 , … , x n ⟩ = K ⟨ X ⟩ などと記してK 上の非可換多項式環と呼ぶ。ここで術語「自由」(free) は、この環が必ずしも乗法が可換でないような多元環としての普遍性を持つということを意味している。K 上で有限生成な（非可換）環 A A = K ⟨ α 1 , α 2 , … , α n ⟩ := { ∑ l c l α i 1 ( l ) α i 2 ( l ) ⋯ α i k l ( l ) ∣ c l ∈ K , α i j ( l ) ∈ { α 1 , … , α n } } は K⟨X⟩ の代入による準同型像として得られる。つまり、適当な K 多元環の全射準同型で K ⟨ X ⟩ → A ;   f ( x 1 , x 2 , … , x n ) ↦ f ( α 1 , α 2 , … , α n ) なるものが必ず取れ、またしたがって A は K⟨X⟩ のある商多元環に同型である。この準同型の V への制限は V から A への K 線型写像であるが、逆に V から A への任意の K 線型写像はかならずこのような形の多元環の準同型に延長可能である。これはテンソル代数の普遍性と呼ばれる性質の一部である。 また、非可換多項式環 K⟨x1, x2, …, xn⟩ をテンソル代数とみるとき、対応する対称代数 S(V) (xy − yx の形の元全体で生成される両側イデアルで割った代数) は多項式環 K[x1, x2, …, xn] であり、多項式環が有限生成可換多元環に対する普遍性を持っていることに対応している。