代数学の記号
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/05 10:06 UTC 版)
算術記号記号意味解説 + {\displaystyle +} 正符号 x の反数（加法に関する逆元）を表すために負符号を用いて −x と記す。反数を与える演算を負符号で表すことに対応して、x 自身を与える恒等変換に正符号を用い、その結果を +x のように表すことがある。 − {\displaystyle -} 負符号 + {\displaystyle +} 加法 x + y は x と y の和を表す ∑ {\displaystyle \textstyle \sum } 総和 ∑ k = 1 n a k := a 1 + a 2 + ⋯ + a n − 1 + a n {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}:=a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n-1}+a_{n}} と定義され、その極限として定まる無限和を ∑ k = 1 ∞ a k ≡ lim n → ∞ ∑ k = 1 n a k {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }a_{k}\equiv \lim \limits _{n\to \infty }\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}} と書く。またある命題 P(x) があるとき、P(x) を満たすような各 k についての和を取ることを ∑ P ( k ) a k {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{P(k)}\,a_{k}} と書く。 − {\displaystyle -} 減法 x − y は x と y の差を表す。通常、y の反数 −y を用いて x + (−y) と定義されている。 ± {\displaystyle \pm } 加法と減法 x ± y は x と y の和と差を表す。 × {\displaystyle \times } 乗法 x × y は x と y の積を表す。中黒 (bullet operatorまたはdot operator) を使って x · y と書いたり、アスタリスクを使って x * y とも書く。特にアスタリスクは多くのプログラミング言語において乗法の演算子として用いられる。 ⋅ {\displaystyle \cdot } ∗ {\displaystyle *} ∙ − 1 {\displaystyle \bullet ^{-1}} 乗法逆元 x-1はある数xとの積が1となる数を表す。1/xと書かれることもある。 ∏ {\displaystyle \textstyle \prod } 総乗 ∑ {\displaystyle \textstyle \sum } はたくさんの加法を一挙に表すものであったが、 ∏ {\displaystyle \textstyle \prod } はたくさんの乗法を一挙に表すものである。 ∏ k = 1 n a k = a 1 × a 2 × ⋯ × a n {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times \dots \times a_{n}} 他の記法のバリエーションも ∑ {\displaystyle \textstyle \sum } に同じ。 ÷ {\displaystyle \div } 除法 x ÷ y は x を y で割った商と剰余の組か、あるいは商を表す。x ÷ y の商はしばしば分数 x/y で表され、また斜線自体を商を与える演算子と見なすことがある。多くのプログラミング言語においては商を与える演算子として / が定義されている。 / {\displaystyle /} ! , $ {\displaystyle !,\$} (順に)階乗, 超階乗 n! は n の階乗を表す。n$ は n の超階乗を表す。 δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} クロネッカーのデルタ i = j のとき 1、i ≠ j のとき 0。 ⌊ ∙ ⌋ , [ ∙ ] {\displaystyle \lfloor \bullet \rfloor ,[\bullet ]} 床関数 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } は x 以下の最大整数を表す。 ⌈ ∙ ⌉ {\displaystyle \lceil \bullet \rceil } 天井関数 ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } は x 以上の最小整数を表す。 ( n k ) , n C k , C k n {\displaystyle {\binom {n}{k}},\,{}_{n}{\text{C}}_{k},\,C_{k}^{n}} 二項係数（組合せ） 通常は括弧書きで表される。C を使った記法は様々なバリエーションがある。 合同算術・初等数論記号意味解説 mod {\displaystyle \operatorname {mod} } 剰余 「x mod y」は整数 x の属する法 y の剰余類や、x を y で割った余りを表す。C言語やその影響を受けたプログラミング言語などでは整数の剰余を与える演算子として % が定義されている。Fortran のように mod を用いる言語も存在する。 % {\displaystyle \%} | {\displaystyle |} 割り切る x | {\displaystyle |} y は、x が y を割り切る、つまり x は y の約数であることを表す。 ⧸ | {\displaystyle \not |} | {\displaystyle |} の否定（割り切れない） x ⧸ | {\displaystyle \not |} y は、x は y の約数ではないことを表す。 ∙ ≡ ∙ ( mod ∙ ) {\displaystyle \bullet \equiv \bullet {\pmod {\bullet }}} 合同 n ≡ m (mod d) は n と m が d を法として合同であることを示す。 ord ( ∙ ) {\displaystyle \operatorname {ord} (\bullet )} 位数 ある群の元の個数を群の位数という。また群の元 x に対し、ord x は x の生成する巡回群の位数を表す。 ( ∙ , ∙ ) {\displaystyle (\bullet ,\bullet )} 最大公約数 (a, b) は a と b の最大公約数を表す。gcd は greatest common divisor の略である。プログラミング言語の数学ライブラリにおいて、最大公約数を与える関数（サブルーチン）が gcd としてしばしば定義される。 gcd ( ∙ , ∙ ) {\displaystyle \gcd(\bullet ,\bullet )} ∙ − 1 {\displaystyle \bullet ^{-1}} モジュラ逆数 整数 a と法 m について a x ≡ 1 ( mod m ) {\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {m}}} を満たす x をモジュラ逆数といい、a-1 で表す。 記号意味解説 e {\displaystyle e} 冪等元 環の冪等元をしばしば e で表す。 p {\displaystyle p} プラスチック数 p は x 3 = x + 1 , {\displaystyle x^{3}=x+1,\;} という代数方程式の唯一の解。 記号意味解説 | ∙ | {\displaystyle |\bullet |} 絶対値 |x| は x の絶対値である。 abs ( ∙ ) {\displaystyle \operatorname {abs} (\bullet )} ‖ ∙ ‖ {\displaystyle \|\bullet \|} ノルム ‖ x ‖ は x のノルムである。 ℜ ∙ {\displaystyle \Re \bullet } 実部 複素数 z に対し、Re(z) はその実部を、Im(z) はその虚部を表す。z = Re(z) + i Im(z) Re ∙ {\displaystyle \operatorname {Re} \bullet } ℑ ∙ {\displaystyle \Im \bullet } 虚部 Im ∙ {\displaystyle \operatorname {Im} \bullet } ∙ ¯ {\displaystyle {\overline {\bullet }}} 共役複素数 複素数 z に対し、 z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} はその共役複素数を表す。 deg ∙ {\displaystyle \operatorname {deg} \bullet } 次数 多項式 f に対して、deg f はその次数を表す。 ∙ , ∙ ∙ {\displaystyle {\sqrt {\bullet }},{\sqrt[{\bullet }]{\bullet }}} 冪根、根基 n√x は x の n乗根を表す。n が 2 であるときには単に √x と書くことが多い。イデアルの根基を表す。 ⟨ ∙ , ∙ ⟩ {\displaystyle \langle \bullet ,\bullet \rangle } 内積
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