組合せ

デジタル大辞泉

くみ‐あわせ〔‐あはせ〕【組（み）合（わ）せ】

読み方：くみあわせ

１ 組み合わせること。また、組み合わせたもの。「色の—を変える」「準決勝の—が決まる」

２ 数学で、n個の異なるものの中から、順序を考えないでr個のものを取り出して作った組。その総数をnCrで表すと、nCr＝｛n（n−1）（n−2）…（n−r＋1）｝/｛r（r−1）（r−2）…・1｝となる。コンビネーション。「順列—」

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組合せ (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/08/09 14:52 UTC 版)

数学において、組合せ（くみあわせ、英: combination, choose）とは、有限個の互いに区別可能な要素の集まりから有限個を選び出す方法である。あるいは選び出した要素をその“並べる順番の違いを区別せずに”並べたもののことである。組合せは組合せ数学と呼ばれる数学の分野で研究される。身近な例でいえば、デッキ（山札）から決まった数のカード（手札）を引くことや、「ロトくじ」などがその例である。

日常では組合せとは要素が2個以上の物を示すが、数学においては要素が1個や0個の場合も組合せの内に含めて考える。

定義

位数 n の有限集合 E と非負整数 k に対し、集合 E に関する組合せとはこの集合の（有限）部分集合のことを言い、特に E に関する k-組合せ（あるいはもっと具体的に、与えられた n 個の元から k 個選んで得られる組合せ、または n 個のものから k 個選んだ場合の組合せの総数）とは E の k-元部分集合を言う。

E の k-組合せ全体の成す集合を 𝒫_k(E) と表すとき、𝒫_k(E) の位数は有限であり、初等組合せ論においては Combination の頭文字を取って、_nC_k , Cn
k , ⁿC_k , C_n,k または C(n, k) のような記号で表す。ピエール・エリゴンが1634年の『実用算術』で _nC_k の記号を定義した。ただし、この数は数学のあらゆる分野に頻繁に現れ、大抵の場合 ${\tbinom {n}{k}}$ と書かれる。特に二項定理

$(1+x)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{k}$

に係数として現れることは顕著であり、これにより ${\tbinom {n}{k}}$ はふつう二項係数と呼ばれる。二項展開の係数として数 ${\tbinom {n}{k}}$ を定義するものと考えれば k = n または k = 0 のとき ${\tbinom {n}{k}}=1$, k > n のとき ${\tbinom {n}{k}}=0$ と考えるのは自然である。

実用上は個々の係数が具体的に

${\binom {n}{k}}={\frac {n\times (n-1)\times \dotsb \times (n-k+1)}{k\times (k-1)\times \dotsb \times 1}}\left(={\frac {P(n,k)}{k!}}\right)$

で与えられることを利用するのが簡便である。この式の分子は k-順列（k個のものを“並べる順番の違いを区別して”並べたもの）を作る総数を表し、分母はそれら k個の並べ替えの総数が k! であることを表し、並びだけが異なるそれらは同じ組合せを与えるものであるから、割っているのはそれらの違いを無視することに対応している。

組合せの数え上げ

A は n-元集合で、a は A に属さない元、k は非負整数とする。このとき、A ∪ {a} の k + 1 個の元からなる部分集合は、A の k + 1 個の元からなる部分集合か、さもなくば単集合 {a} に A の k-元部分集合を併せたものであるから、

${\mathcal {P}}_{k+1}(A\cup \{a\})={\mathcal {P}}_{k+1}(A)\cup \left\{X\cup \{a\}\mid X\in {\mathcal {P}}_{k}(A)\right\}$

と書ける。ただし、k > n のとき 𝒫_k(A) = ∅ である。（この等式の位数は、パスカルの三角形を構成するのに用いる漸化式 ${\tbinom {n+1}{k+1}}={\tbinom {n}{k+1}}+{\tbinom {n}{k}}$ に対応する）。

組合せの数の計算

n-元に対する k-組合せの総数を効率的に計算するために以下の等式が利用できる。0 ≤ k ≤ n として:

${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}},\quad {\binom {n+1}{k+1}}={\frac {n+1}{k+1}}{\binom {n}{k}},\,{\binom {n}{0}}=1.$

最初の式は k ≤ n/2 なる場合に帰着するのに利用できるし、後の2つは

${\binom {n}{k}}={\frac {n-k+1}{1}}\cdot {\frac {n-k+2}{2}}\cdot \dotsb \cdot {\frac {n}{k}}$

となることを示せる。

参考文献

• 西岡康夫『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』オーム社、2013年。 ISBN 9784274214073。 
• 伏見康治『確率論及統計論』河出書房、1942年。 ISBN 9784874720127。https://www.jstage.jst.go.jp/article/jsmemag/46/313/46_KJ00003058243/_article/-char/ja/。 
• 日本数学会 編『数学辞典』（第4版）岩波書店、2007年。 ISBN 9784000803090。 

関連項目

• 組合せ数学
• 重複組合せ
• 順列
• 重複順列
• 完全順列
• 場合の数
• 数え上げ
• 数え上げ数学
• 置換 (数学)
• 重複置換
• 写像12相
• 樹形図

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Combination”. mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. “Choose”. mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. “k-Subset”. mathworld.wolfram.com (英語).

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組合せ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/13 08:45 UTC 版)

「ウェクスラー成人知能検査」の記事における「組合せ」の解説

視覚分析、統合、組み立て。

Weblio日本語例文用例辞書

「組合せ」の例文・使い方・用例・文例

• 組合せ文字
• 我々は、最も必要がある学校と最高の先生の組合せを必要とする
• 中央を意味するために、組合せで使われる
• 化学的または物理的な組合せで成立しない
• 組合せに関する、または、組合せにかかわる
• 命題と論理演算子『AND』『OR』『IF THEN』『EXCEPT』『NOT』を結合するジョージ・ブールによって考案された組合せ手順の、または、命題と論理演算子『AND』『OR』『IF THEN』『EXCEPT』『NOT』を結合するジョージ・ブールによって考案された組合せ手順に関する
• 連携して作用するように調整された道具の組合せからなるツール
• いくつかの入力があるが、入力の特定の組合せによって起動することができる出力はひとつのみであるコンピュータ回路
• かつて、人の健康と気質を決定すると思われていた要素の組合せ（乾燥、暖かさ、または、四体液）
• 同性質の組合せで存在するか、働くことができない品質
• 要素群およびそれらの組合せである知識の複雑な構成
• 複雑な全体への考えの組合せ
• 3つ以上の同時に鳴る楽音の組合せ
• 事象または状況の重要な組合せ
• 結合または結びつくことから生じる組合せ
• 様々なサンプルの組合せ
• 比較的弱い化学結合に依存する組合せ（特に溶液中で）のあらゆるプロセス
• 気腫と慢性気管支炎の組合せである付加逆性の肺疾患
• ケイ酸塩チェーンと主にナトリウムとカルシウムとマグネシウムと鉄とアルミニウムの組合せを含んでいる類似した結晶構造による一群の鉱物
• 競技の相手との組合せ