総乗とは? わかりやすく解説

総乗

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/09/26 22:45 UTC 版)

総乗(そうじょう)とは、の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。

定義

結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a1, a2, …, an の総乗を

などと表す。記号 ギリシャ文字パイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。

有限集合 E に対し、E濃度n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (xi)iI 」とすることができる。この列の総乗を

などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1M を持つとき、空集合を添え字集合とする列(空な列)の総乗は 1M であるとする。(空積も参照)

積が非結合的な場合

積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a1 × a2 × … × an という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。

このとき、 と書くことにすると、

の意味になる。このようなものはあまり応用がない。

無限乗積

総和と同様に、可算無限 の総乗

を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。

定義

実数複素数からなる可算列 の無限乗積を定義する。無限乗積 収束するとは2条件

  • ある番号 m から先では常に xn ≠ 0 (n > m)[1]
  • 部分積 pn := xm+1xn (n > m) がゼロでない値 Pmn → ∞ の極限で収束する

が成り立つことをいう[2][3]。無限乗積 が収束するとき、その値を

と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、limn→∞ xn = 1 が成り立つ[4]

また数列 に対して無限乗積 が収束するとき、無限乗積 絶対収束するという[5][3]。無限乗積 が絶対収束するのは無限級数 絶対収束するとき、かつそのときに限る[6][3]

三角関数の無限乗積展開[3]

ウォリス積[7][8]

オイラー乗積

ガンマ関数[3][9][10]

(オイラーの定数である)[3][9]

qポッホハマー記号 [11][12][13]

qガンマ関数[12][13][14]

行列を使ってqガンマ関数を定義することもできる[15]

  1. ^ つまり、有限個の例外を除いて数列の値はゼロでない。
  2. ^ Konrad 1956, p. 93, Definition 3.7.1.
  3. ^ a b c d e f 神保道夫、複素関数入門、岩波書店
  4. ^ Konrad 1956, p. 93, Theorem 3.7.2.
  5. ^ Konrad 1956, p. 96.
  6. ^ Konrad 1956, p. 96, Theorem 3.7.6.
  7. ^ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Wallis Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html
  8. ^ A proof of the Wallis product formula, Takuya Ooura
  9. ^ a b 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版
  10. ^ Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
  11. ^ Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol
  12. ^ a b Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.
  13. ^ a b Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.
  14. ^ Weisstein, Eric W. "q-Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/q-GammaFunction.html
  15. ^ Salem, A. (2012). On a -gamma and a -beta matrix functions. Linear and Multilinear Algebra, 60(6), 683-696.

参考文献

関連項目


総乗

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/12/26 14:03 UTC 版)

等差数列」の記事における「総乗」の解説

初項 a1 で、公差 d である総項数 n の等差数列に対して、項を全て掛け合わせた総乗 P n := a 1 ⋅ a 2 ⋅ ⋯ ⋅ a n = a 1 ⋅ ( a 1 + d ) ⋅ ( a 1 + 2 d ) ⋅ ⋯ ⋅ ( a 1 + ( n − 1 ) d ) = d a 1 d ⋅ d ( a 1 d + 1 ) ⋅ d ( a 1 d + 2 ) ⋅ ⋯ ⋅ d ( a 1 d + n − 1 ) = d n ( a 1 d ) n ¯ {\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}:=a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}&=a_{1}\cdot (a_{1}+d)\cdot (a_{1}+2d)\cdot \dotsb \cdot (a_{1}+(n-1)d)\\&=d{\frac {a_{1}}{d}}\cdot d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)\cdot d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdot \cdots \cdot d\left({\frac {a_{1}}{d}}+n-1\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}} ( x n ¯ {\displaystyle x^{\overline {n}}} は上昇階乗冪)はガンマ関数 Γ を用いて P n = d n Γ ( a 1 / d + n ) Γ ( a 1 / d ) {\displaystyle P_{n}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}}} という閉じた式(英語版)によって計算できる(ただし、a1/d が負の整数や 0 となる場合は、式は意味を持たない)。Γ(n + 1) = n!注意すれば上記の式は、1 から n までの積 1 × 2 × ⋯ × n = n! および正の整数 m から n までの積 m × (m + 1) × ⋯ × (n − 1) × n = n!/(m − 1)! を一般化するのであることが分かる

※この「総乗」の解説は、「等差数列」の解説の一部です。
「総乗」を含む「等差数列」の記事については、「等差数列」の概要を参照ください。

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