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ウォリス積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 06:48 UTC 版)

「ウォリスの公式」はこの項目へ転送されています。ウォリス積分に対するウォリスの公式については「ウォリス積分」をご覧ください。

数学において、ウォリス積 (Wallis' product) とは無限積

\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\cdot {\frac {4\cdot 4}{3\cdot 5}}\cdot {\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\cdot {\frac {8\cdot 8}{7\cdot 9}}\cdots

のことであり、この値は $π$ /2 に等しい。これをウォリスの公式という^[1]。

平方根を取ることよりウォリス積分より得られる極限の式に帰着されるが、別の観点として、複素関数としての三角関数の無限乗積展開

{\frac {\pi z}{\sin \pi z}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{n^{2}-z^{2}}}

から自然に導出される。この式に z = 1/2 を代入すると

{\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}

を得る。

円周率に収束する無限積として、根号を含まず計算しやすいが、収束はとても遅く^[2]、実用的ではない。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/01 09:58 UTC 版)

正弦関数の乗積展開 π z sin ⁡ π z = ∏ n = 1 ∞ ( n 2 n 2 − z 2 ) {\displaystyle {\frac {\pi {z}}{\sin \pi {z}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {n^{2}}{n^{2}-z^{2}}}\right)}} に z = 1 2 {\displaystyle z=\textstyle {\frac {1}{2}}} を代入すると π 2 = ∏ n = 1 ∞ 4 n 2 4 n 2 − 1 = ∏ n = 1 ∞ ( 2 n ) 2 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}} が得られる。これはウォリス積と呼ばれるものである。

※この「ウォリス積」の解説は、「三角関数の無限乗積展開」の解説の一部です。
「ウォリス積」を含む「三角関数の無限乗積展開」の記事については、「三角関数の無限乗積展開」の概要を参照ください。

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