この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。出典検索? "三角関数の無限乗積展開" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL （2015年7月
数学において、三角関数 と双曲線関数 について無限乗積 を用いた以下の恒等式が成立する。
sin
(
π
z
)
=
π
z
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
n
2
)
{\displaystyle \sin {({\pi }z)}={\pi }z\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}}
cos
(
π
z
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
(
n
−
1
2
)
2
)
{\displaystyle \cos {({\pi }z)}=\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}}
sinh
(
π
z
)
=
sin
(
π
i
z
)
i
=
π
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
2
n
2
)
{\displaystyle \sinh {({\pi }z)}={\frac {\sin({\pi }iz)}{i}}={\pi }z\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}}
cosh
(
π
z
)
=
cos
(
π
i
z
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
2
(
n
−
1
2
)
2
)
{\displaystyle \cosh {({\pi }z)}=\cos({\pi }iz)=\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}}
初等的な考察
sin
(
π
z
)
{\displaystyle \sin({\pi }z)}
マクローリン展開 の収束半径 が無限大 )であるから無限次の多項式 で表される。
sin
(
π
z
)
{\displaystyle \sin({\pi }z)}
z
=
…
,
−
1
,
0
,
+
1
,
…
{\displaystyle z=\dotsc ,-1,0,+1,\dotsc }
c
{\displaystyle c}
sin
(
π
z
)
=
c
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
(
1
−
z
n
)
=
c
z
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
n
2
)
{\displaystyle \sin({\pi }z)=cz\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {z}{n}}\right)}{\left(1-{\frac {z}{n}}\right)}=cz\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}}
微分して
π
cos
(
π
z
)
=
c
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
n
2
)
+
c
z
d
d
z
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
n
2
)
{\displaystyle \pi \cos({\pi }z)=c\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}+cz{\frac {d}{dz}}\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
c
=
π
{\displaystyle c=\pi }
cos
(
π
z
)
=
c
′
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
−
1
/
2
)
(
1
−
z
n
−
1
/
2
)
{\displaystyle \cos({\pi }z)=c'\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {z}{n-1/2}}\right)}{\left(1-{\frac {z}{n-1/2}}\right)}}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
c
′
=
1
{\displaystyle c'=1}
z
→
∞
{\displaystyle z\to \infty }
e
z
{\displaystyle e^{z}}
ワイエルシュトラスの因数分解定理 が必要になる。
証明 正弦関数の乗積展開を証明するには
f
(
z
)
=
π
z
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
n
2
)
sin
(
π
z
)
{\displaystyle f(z)={\frac {{\pi }z\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}}{\sin({\pi }z)}}}
として、恒等的に
f
(
z
)
=
1
{\displaystyle f(z)=1}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
対数微分
d
d
z
log
f
(
z
)
=
1
z
+
∑
n
=
1
∞
(
1
n
+
z
−
1
n
−
z
)
−
π
cos
π
z
sin
π
z
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log {f(z)}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{n+z}}-{\frac {1}{n-z}}\right)}-\pi {\frac {\cos {{\pi }z}}{\sin {{\pi }z}}}}
を考える。余接関数の部分分数展開
π
cot
π
z
=
1
z
+
∑
n
=
1
∞
2
z
z
2
−
n
2
{\displaystyle \pi \cot {{\pi }z}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}-n^{2}}}}
を用いて
d
d
z
log
f
(
z
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log {f(z)}=0}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
f
(
z
)
=
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle f(z)=f(0)=1}
フーリエ級数を用いた証明
α
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \alpha \in (0,1)}
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
f
(
x
)
=
cos
(
α
x
)
{\displaystyle f(x)=\cos(\alpha x)}
これを周期
2
π
{\displaystyle 2\pi }
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
=
2
α
sin
π
α
π
(
1
2
α
2
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
α
2
−
n
2
cos
n
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {2\alpha \sin \pi \alpha }{\pi }}\left({\frac {1}{2\alpha ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\alpha ^{2}-n^{2}}}\cos nx\right)}
x
=
π
{\displaystyle x=\pi }
cot
π
α
−
1
π
α
=
2
α
π
∑
n
=
1
∞
1
α
2
−
n
2
{\displaystyle \cot \pi \alpha -{\frac {1}{\pi \alpha }}={\frac {2\alpha }{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-n^{2}}}}
ここで
z
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle z\in (0,1)}
α
∈
(
0
,
z
)
{\displaystyle \alpha \in (0,z)}
|
1
α
2
−
n
2
|
≤
1
n
2
−
z
2
{\displaystyle \left|{\frac {1}{\alpha ^{2}-n^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{n^{2}-z^{2}}}}
∑
n
=
1
∞
1
n
2
−
z
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-z^{2}}}}
ワイエルシュトラスのM判定法 より上式は
α
∈
(
0
,
z
)
{\displaystyle \alpha \in (0,z)}
[
0
,
z
]
{\displaystyle [0,z]}
ln
sin
π
z
π
z
=
∑
n
=
1
∞
ln
(
1
−
z
2
n
2
)
{\displaystyle \ln {\frac {\sin \pi z}{\pi z}}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}
これより
sin
π
z
=
π
z
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
n
2
)
{\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}
ウォリス積 正弦関数の乗積展開
π
z
sin
π
z
=
∏
n
=
1
∞
(
n
2
n
2
−
z
2
)
{\displaystyle {\frac {\pi {z}}{\sin \pi {z}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {n^{2}}{n^{2}-z^{2}}}\right)}}
に
z
=
1
2
{\displaystyle z=\textstyle {\frac {1}{2}}}
π
2
=
∏
n
=
1
∞
4
n
2
4
n
2
−
1
=
∏
n
=
1
∞
(
2
n
)
2
(
2
n
−
1
)
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}}
が得られる。これはウォリス積 と呼ばれるものである。
外部リンク 
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
![{\displaystyle [0,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7b491a825f38e5ef290955bdc8bb9ea7de095d)
