無限乗積展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:03 UTC 版)
双曲線関数は以下に示す無限乗積に展開される。(→証明) sinh ( π z ) = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z 2 n 2 ) cosh ( π z ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z 2 ( n − 1 / 2 ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(\pi z)&=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)\\\cosh(\pi z)&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}}}\right)\end{aligned}}}
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無限乗積展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/26 16:11 UTC 版)
詳細は「三角関数の無限乗積展開」を参照 三角関数は以下のように無限乗積として書ける。 sin π z = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) cos π z = ∏ n = 1 ∞ { 1 − z 2 ( n − 1 2 ) 2 } {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \pi z&=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}\\\cos \pi z&=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}\end{aligned}}}
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