無限乗積表示と零点
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 09:57 UTC 版)
ヤコビの三重積の公式により、 ϑ 1 ( v ; τ ) = − ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 / 2 ) 2 e 2 π i ( n + 1 / 2 ) ( v + 1 / 2 ) = − i e π i τ / 4 e π i v ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 e π i τ n + 2 π i v n + π i n = − i e π i τ / 4 e π i v ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 − e 2 m π i τ e 2 π i v ) ( 1 − e ( 2 m − 2 ) π i τ e − 2 π i v ) = − i e π i τ / 4 e π i v ( 1 − e − 2 π i v ) ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 − e 2 m π i τ e 2 π i v ) ( 1 − e 2 m π i τ e − 2 π i v ) = 2 e π i τ / 4 sin π v ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 − e 2 m π i τ e 2 π i v ) ( 1 − e 2 m π i τ e − 2 π i v ) = 2 e π i τ / 4 sin π v ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 − 2 e 2 m π i τ cos 2 π v + e 4 m π i τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}(v;\tau )&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+1/2\right)^{2}}e^{2{\pi }i(n+1/2)(v+1/2)}}\\&=-ie^{{\pi }i{\tau }/4}e^{{\pi }iv}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}e^{{\pi }i{\tau }n+2{\pi }ivn+{\pi }in}}\\&=-ie^{{\pi }i{\tau }/4}e^{{\pi }iv}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{(2m-2){\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=-ie^{{\pi }i{\tau }/4}e^{{\pi }iv}(1-e^{-2{\pi }iv})\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\sin {\pi }v\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\sin {\pi }v\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-2e^{2m{\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{4m{\pi }i{\tau }}\right)}\\\end{aligned}}} ϑ 2 ( v ; τ ) = 2 e π i τ / 4 cos π v ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + e 2 m π i τ e 2 π i v ) ( 1 + e 2 m π i τ e − 2 π i v ) = 2 e π i τ / 4 cos π v ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + 2 e 2 m π i τ cos 2 π v + e 4 m π i τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{2}(v;\tau )&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\cos {\pi }v\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\cos {\pi }v\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+2e^{2m{\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{4m{\pi }i{\tau }}\right)}\\\end{aligned}}} ϑ 3 ( v ; τ ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ e 2 π i v ) ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ e − 2 π i v ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + 2 e ( 2 m − 1 ) π i τ cos 2 π v + e 2 ( 2 m − 1 ) π i τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}(v;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+2e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)}\\\end{aligned}}} ϑ 4 ( v ; τ ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 − e ( 2 m − 1 ) π i τ e 2 π i v ) ( 1 − e ( 2 m − 1 ) π i τ e − 2 π i v ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 − 2 e ( 2 m − 1 ) π i τ cos 2 π v + e 2 ( 2 m − 1 ) π i τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}(v;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-2e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)}\\\end{aligned}}} | e 2 m π i τ | < 1 {\displaystyle |e^{2m{\pi }i{\tau }}|<1} であるから ϑ 3 ( v ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{3}(v;\tau )} の零点は cos 2 π v = − e ( 2 m − 1 ) π i τ + e − ( 2 m − 1 ) π i τ 2 cos 2 π v = e ( 2 m − 1 ) π i τ + π i + e − ( 2 m − 1 ) π i τ − π i 2 2 π v = ( ( 2 m − 1 ) π τ + π ) ± 2 π n v = 2 n ′ + 1 2 + 2 m ′ + 1 2 τ {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {2{\pi }v}&=-{\frac {e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}+e^{-(2m-1){\pi }i{\tau }}}{2}}\\\cos {2{\pi }v}&={\frac {e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+{\pi }i}+e^{-(2m-1){\pi }i{\tau }-{\pi }i}}{2}}\\2{\pi }v&=\left((2m-1){\pi }{\tau }+{\pi }\right)\pm 2{\pi }n\\v&={\frac {2n'+1}{2}}+{\frac {2m'+1}{2}}\tau \end{aligned}}} である。他の関数の零点も同様にして求められる。 ϑ 1 ( v ; τ ) = 0 ⇔ v = n + m τ ϑ 2 ( v ; τ ) = 0 ⇔ v = 2 n + 1 2 + m τ ϑ 3 ( v ; τ ) = 0 ⇔ v = 2 n + 1 2 + 2 m + 1 2 τ ϑ 4 ( v ; τ ) = 0 ⇔ v = n + 2 m + 1 2 τ {\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}(v;\tau )=0\;\Leftrightarrow \;v=n+m\tau \\&\vartheta _{2}(v;\tau )=0\;\Leftrightarrow \;v={\frac {2n+1}{2}}+m\tau \\&\vartheta _{3}(v;\tau )=0\;\Leftrightarrow \;v={\frac {2n+1}{2}}+{\frac {2m+1}{2}}\tau \\&\vartheta _{4}(v;\tau )=0\;\Leftrightarrow \;v=n+{\frac {2m+1}{2}}\tau \\\end{aligned}}}
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