無限乗積による表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/25 10:23 UTC 版)
「ネイピア数の表現」の記事における「無限乗積による表現」の解説
ネイピア数 e はいくつかの無限乗積の形式で表現できる。 I. Pippengerの積: e = 2 ( 2 1 ) 1 / 2 ( 2 3 4 3 ) 1 / 4 ( 4 5 6 5 6 7 8 7 ) 1 / 8 ⋯ {\displaystyle e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots } II. Guillera の積: e = ∏ n = 1 ∞ ∏ k = 0 n ( k + 1 ) ( − 1 ) k + 1 ( n k ) n = ( 2 1 ) 1 / 1 ( 2 2 1 ⋅ 3 ) 1 / 2 ( 2 3 ⋅ 4 1 ⋅ 3 3 ) 1 / 3 ( 2 4 ⋅ 4 4 1 ⋅ 3 6 ⋅ 5 ) 1 / 4 ⋯ , {\displaystyle e=\prod _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,} ここに n 番目の因子は次の積 の n 乗根である。 ∏ k = 0 n ( k + 1 ) ( − 1 ) k + 1 ( n k ) {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}} III. 無限乗積: e = 2 ⋅ 2 ( ln ( 2 ) − 1 ) 2 ⋯ 2 ln ( 2 ) − 1 ⋅ 2 ( ln ( 2 ) − 1 ) 3 ⋯ . {\displaystyle e={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}
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無限乗積による表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:03 UTC 版)
「三角関数の公式の一覧」の記事における「無限乗積による表現」の解説
いくつかの関数は、無限乗積の形で表すことができる。 sin x = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 n 2 ) {\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)} sinh x = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x 2 π 2 n 2 ) {\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)} sin x x = ∏ n = 1 ∞ cos ( x 2 n ) {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)} cos x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 ( n − 1 2 ) 2 ) {\displaystyle \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)} cosh x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x 2 π 2 ( n − 1 2 ) 2 ) {\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)} | sin x | = 1 2 ∏ n = 0 ∞ | tan ( 2 n x ) | 2 n + 1 {\displaystyle |\sin x|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\tan \left(2^{n}x\right)\right|}}}
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