相反公式とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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相反公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 11:04 UTC 版)

「ガンマ関数」の記事における「相反公式」の解説

次の恒等式を相反公式(reflection formula)という。 Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = − z Γ ( z ) Γ ( − z ) = π sin ⁡ π z , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z)\Gamma (-z)={\frac {\pi }{\sin {{\pi }z}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} } 相補公式とも呼ばれる。この恒等式はオイラーの乗積表示から得られる。 − z Γ ( z ) Γ ( − z ) = − z ( lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( z + k ) ) ( lim n → ∞ n − z n ! ∏ k = 0 n ( − z + k ) ) = 1 z ∏ k = 1 ∞ k 2 k 2 − z 2 = π π z ∏ k = 1 ∞ k 2 − z 2 k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}-z\Gamma (z)\Gamma (-z)&=-z\left(\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}\right)\left(\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{-z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(-z+k)}}}\right)\\&={\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-z^{2}}}\\&={\frac {\pi }{{\pi }z\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\displaystyle {\frac {k^{2}-z^{2}}{k^{2}}}}}\\\end{aligned}}} この分母は正弦関数の無限乗積展開であるから、 Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = − z Γ ( z ) Γ ( − z ) = π sin ⁡ π z {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z)\Gamma (-z)={\frac {\pi }{\sin {{\pi }z}}}} である。相反公式に z = 1 2 {\displaystyle z={\frac {1}{2}}} を代入すれば Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 − 1 2 ) = π sin ⁡ π 2 = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi }{\sin {\frac {\pi }{2}}}}=\pi } となり Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}} を得る。

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相反公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/09 02:21 UTC 版)

「ポリガンマ関数」の記事における「相反公式」の解説

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。 ψ ( n ) ( 1 − z ) + ( − 1 ) n + 1 ψ ( n ) ( z ) = − π d n d z n cot ⁡ π z {\displaystyle \psi ^{(n)}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi ^{(n)}(z)=-\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\operatorname {cot} \pi z} 但し、cot πz は余接関数を表す。

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相反公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/23 18:27 UTC 版)

「ディガンマ関数」の記事における「相反公式」の解説

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。 ψ ( 1 − z ) − ψ ( z ) = π cot ⁡ ( π z ) {\displaystyle \psi (1-z)-\psi (z)=\pi \operatorname {cot} (\pi z)} 但し、 cot ⁡ ( π z ) {\displaystyle \cot(\pi z)} は余接関数を表す。