関数等式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:40 UTC 版)
「リーマンゼータ関数」の記事における「関数等式の導出」の解説
関数等式は以下のようにして求まる。ガンマ関数の定義と変数の置き換えにより ∫ 0 ∞ x s 2 e − n 2 π x d x x = Γ ( s 2 ) n s π s 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s \over 2}e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}={\Gamma \left({s \over 2}\right) \over {n^{s}\pi ^{s \over 2}}}.} R e ( s ) > 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1} であるならば、以下の式の和と積分を入れ替えることができる。 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π s / 2 = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ x s 2 e − n 2 π x d x x = ∫ 0 ∞ x s 2 ∑ n = 1 ∞ e − n 2 π x d x x . {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}{\pi ^{s/2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }x^{s \over 2}e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}=\int _{0}^{\infty }x^{s \over 2}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}.} ここで ψ ( x ) := ∑ n = 1 ∞ e − n 2 π x {\displaystyle \psi (x):=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}} とおくと ζ ( s ) = π s 2 Γ ( s 2 ) ∫ 0 ∞ x s 2 ψ ( x ) d x x {\displaystyle \zeta (s)={\pi ^{s \over 2} \over \Gamma ({s \over 2})}\int \limits _{0}^{\infty }x^{\frac {s}{2}}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}} となる。ここで f ( x ) = e − π x 2 {\displaystyle f(x)=e^{-\pi x^{2}}} とおくと、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} はフーリエ変換に対し不変である。 f ^ ( y ) = e − π y 2 {\displaystyle {\hat {f}}(y)=e^{-\pi y^{2}}} また、フーリエ変換の定数倍の公式より、 g ( x ) = f ( a x ) {\displaystyle g(x)=f(ax)} のフーリエ変換は g ^ ( x ) = 1 | a | f ( x a ) {\displaystyle {\hat {g}}(x)={\frac {1}{|a|}}f\left({\frac {x}{a}}\right)} である。 よってポアソン和公式から以下が成り立つ。 ∑ n = − ∞ ∞ e − n 2 π x = 1 x ∑ n = − ∞ ∞ e − n 2 π x {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi x}}={1 \over {\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi \over x}}} よって 2 ψ ( x ) + 1 = 1 x { 2 ψ ( 1 x ) + 1 } {\displaystyle 2\psi (x)+1={1 \over {\sqrt {x}}}\left\{2\psi \left({1 \over x}\right)+1\right\}} である。よって π − s 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = ∫ 0 1 x s 2 ψ ( x ) d x x + ∫ 1 ∞ x s 2 ψ ( x ) d x x {\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{1}x^{s \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}+\int _{1}^{\infty }x^{s \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}} は以下の式と等しい。 ∫ 0 1 x s 2 { 1 x ψ ( 1 x ) + 1 2 x − 1 2 } d x x + ∫ 1 ∞ x s 2 ψ ( x ) d x x {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{s \over 2}\left\{{1 \over {\sqrt {x}}}\psi \left({1 \over x}\right)+{1 \over 2{\sqrt {x}}}-{1 \over 2}\right\}\,{\frac {dx}{x}}+\int \limits _{1}^{\infty }x^{s \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}} つまり 1 s − 1 − 1 s + ∫ 0 1 x s − 1 2 ψ ( 1 x ) d x x + ∫ 1 ∞ x s 2 ψ ( x ) d x x {\displaystyle {1 \over {s-1}}-{1 \over s}+\int \limits _{0}^{1}x^{{s-1} \over 2}\psi \left({1 \over x}\right)\,{\frac {dx}{x}}+\int \limits _{1}^{\infty }x^{{s} \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}} よって π − s 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = − 1 s ( 1 − s ) + ∫ 1 ∞ ( x 1 − s 2 + x s 2 ) ψ ( x ) d x x {\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=-{1 \over {s({1-s})}}+\int \limits _{1}^{\infty }\left({x^{{1-s} \over 2}+x^{{s} \over 2}}\right)\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}} この式はすべての s {\displaystyle s} について収束する。また、右辺は s {\displaystyle s} を 1 − s {\displaystyle 1-s} に変えても変化しないことから以下の等式が成り立つ。 π − s 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = π − 1 − s 2 Γ ( 1 − s 2 ) ζ ( 1 − s ) {\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)} ガンマ関数の乗法公式および相反公式より Γ ( 1 − s 2 ) Γ ( s 2 ) = Γ ( 1 − s 2 ) Γ ( 1 − s 2 ) Γ ( s 2 ) Γ ( 1 − s 2 ) = 2 s π 1 2 Γ ( 1 − s ) ⋅ sin ( π s 2 ) π = 2 s π − 1 2 sin ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {s}{2}}\right)}}=2^{s}\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma (1-s)\cdot {\frac {\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)}{\pi }}=2^{s}\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)} よって ζ ( s ) = 2 s π s − 1 sin ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\,\pi ^{s-1}\,\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\Gamma (1-s)\,\zeta (1-s)}
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